Ternär kubisk
Inom matematiken är en ternär kubisk form ett homogent grad 3 polynom i tre variabler.
Invariant teori
Den ternära kubiken är ett av få fall av en form av grad större än 2 i mer än 2 variabler vars ring av invarianter beräknades explicit på 1800-talet.
Ringen av invarianter
Algebra av invarianter av en ternär kubisk under SL 3 ( C ) är en polynomalgebra genererad av två invarianter S och T av grader 4 och 6, kallade Aronhold-invarianter. Invarianterna är ganska komplicerade när de skrivs som polynom i koefficienterna för den ternära kubiken, och ges explicit i ( Sturmfels 1993 , 4.4.7, 4.5.3)
Ringen av kovarianter
Ringen av kovarianter ges enligt följande. ( Dolgachev 2012 , 3.4.3)
Identitetskovarianten U för en ternär kubik har grad 1 och ordning 3.
Hessian H är en kovariant av ternära kubik av grad 3 och ordning 3.
Det finns en kovariant G av ternära kubik av grad 8 och ordning 6 som försvinner på punkter x som ligger på laxkoniken av polaren av x med avseende på kurvan och dess hessiska kurva.
Brioschi-kovarianten J är Jacobian av U , G och H av grad 12, ordning 9.
Algebra av kovarianter av en ternär kubik genereras över ringen av invarianter av U , G , H och J , med ett förhållande att kvadraten av J är ett polynom i de andra generatorerna.
Ringen av kontravarianter
( Dolgachev 2012 , 3.4.3)
Clebsch-överföringen av diskriminanten för en binär kubik är en kontravariant F av ternära kubik av grad 4 och klass 6, vilket ger den dubbla kubik av en kubikkurva.
Cayleyan P för en ternär kubik är en motvariant av grad 3 och klass 3 .
Quippian Q för en ternär kubik är en kontravariant av grad 5 och klass 3 .
Hermite-kontravarianten Π är en annan kontravariant av ternära kubik av grad 12 och klass 9.
Ringen av kontravarianter genereras över ringen av invarianter av F , P , Q , och Π, med en relation att Π 2 är ett polynom i de andra generatorerna.
Ringen av samtidigt
Gordan (1869) och Cayley (1881) beskrev ringen av samtidiga komponenter, vilket gav 34 generatorer.
Clebsch-överföringen av hessian av en binär kubik är en samtidighet av grad 2, ordning 2 och klass 2.
Clebsch-överföringen av jakobian för identitetskovarianten och hessian för en binär kubisk är en samtidighet av ternära kubik av grad 3, klass 3 och ordning 3
Se även
- Cayley, Arthur (1881), "On the 34 Concomitants of the Ternary Cubic" , American Journal of Mathematics , 4 (1): 1–15, doi : 10.2307/2369145 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 23691455
- Dolgachev, Igor V. (2012), Classical Algebraic Geometry: a modern view (PDF) , Cambridge University Press , ISBN 978-1-107-01765-8
- Gordan, Paul (1869), "Ueber ternäre Formen dritten Grades" , Mathematische Annalen , 1 : 90–128, doi : 10.1007/bf01447388 , ISSN 0025-5831 , S2CID 10273417
- Sturmfels, Bernd (1993), Algorithms in invariant theory , Texts and Monographs in Symbolic Computation, Berlin, New York: Springer-Verlag , CiteSeerX 10.1.1.39.2924 , doi : 10.1007/978-3-417-5 , ISB1-5 978-3-211-82445-0 , MR 1255980