Termiskt gränsskikts tjocklek och form

Schematisk ritning som visar vätskeflöde över en uppvärmd plan platta.

Den här sidan beskriver några parametrar som används för att karakterisera egenskaperna hos det termiska gränsskiktet som bildas av en uppvärmd (eller kyld) vätska som rör sig längs en uppvärmd (eller kyld) vägg. På många sätt är beskrivningen av det termiska gränsskiktet parallellt med hastighetsgränsskiktet (momentum) som först konceptualiserades av Ludwig Prandtl . Betrakta en vätska med enhetlig temperatur $T_{o}$ och hastighet $u_{o}$ som träffar en stationär platta likformigt uppvärmd till en temperatur $T_{s}$ . Antag att flödet och plattan är halvoändliga i positiv/negativ riktning vinkelrätt mot $xy$ -planet. När vätskan strömmar längs väggen, uppfyller vätskan vid väggytan ett halkfritt gränsvillkor och har noll hastighet, men när du rör dig bort från väggen närmar sig flödets hastighet asymptotiskt den fria strömningshastigheten $u_{0}$ . Temperaturen vid den fasta väggen är $T_{s}$ och ändras gradvis till $T_{o}$ när man rör sig mot den fria strömmen av vätskan. Det är omöjligt att definiera en skarp punkt där den termiska gränsskiktsvätskan eller hastighetsgränsskiktsvätskan blir den fria strömmen, ändå har dessa skikt en väldefinierad karakteristisk tjocklek som ges av δ T {\displaystyle \delta _{ $}$ och $\delta _{v}$ . Parametrarna nedan ger en användbar definition av denna karakteristiska, mätbara tjocklek för det termiska gränsskiktet. I denna beskrivning av gränsskiktet ingår också några parametrar som är användbara för att beskriva formen på det termiska gränsskiktet.

99 % termiskt gränsskiktstjocklek

Det termiska gränsskiktets tjocklek , $\delta _{T}$ , är avståndet över ett gränsskikt från väggen till en punkt där flödestemperaturen i huvudsak har nått den "fria strömnings"-temperaturen, $T_{0}$ . Detta avstånd definieras normalt mot väggen i $y$ -riktningen. Det termiska gränsskiktets tjocklek definieras vanligtvis som den punkt i gränsskiktet, $y_{99}$ , där temperaturen $T(x,y)$ når 99 % av det fria streamvärdet $T_{0}$ :

$\delta _{T}=y_{99}$ så att $T(x,y_{99})$ = 0,99 $T_{ 0}$

vid en position $x$ längs väggen. I en riktig vätska kan denna mängd uppskattas genom att mäta temperaturprofilen vid en position $x$ längs väggen. Temperaturprofilen är temperaturen som en funktion av $y$ vid en fast $x$ -position.

För laminärt flöde över en plan platta med noll infallsvinkel ges den termiska gränsskiktets tjocklek av:

$\delta _{T}=\delta _{v}\mathrm {Pr} ^{-1/3}$

$-1/3}}$

var

$\mathrm {Pr}$ är Prandtl-talet

$\delta _{v}$ är tjockleken på hastighetsgränsskiktets tjocklek

$u_{0}$ är friströmshastigheten

$x$ är avståndet nedströms från början av gränsskiktet

$\nu$ är den kinematiska viskositeten

För turbulent flöde över en plan platta bestäms inte tjockleken på det termiska gränsskiktet som bildas av termisk diffusion, utan det är istället slumpmässiga fluktuationer i det yttre området av vätskans gränsskikt som är den drivande kraften som bestämmer värmen. gränsskiktets tjocklek. Det termiska gränsskiktets tjocklek för turbulent flöde beror alltså inte på Prandtl-talet utan istället på Reynolds-talet . Därför ges det turbulenta termiska gränsskiktets tjocklek ungefär av det turbulenta hastighetsgränsskiktets tjocklek som ges av:

$\delta _{T}\approx \delta \approx 0,37x/{\mathrm {Re} _{x}}^{1/5}$

var

${\mathrm {Re} _{x}}=u_{0}x/\nu$ är Reynoldstalet

Denna turbulenta gränsskiktstjockleksformel antar 1) flödet är turbulent redan från början av gränsskiktet och 2) det turbulenta gränsskiktet beter sig på ett geometriskt liknande sätt (dvs hastighetsprofilerna är geometriskt lika längs flödet i x-riktningen , skiljer sig endast genom sträckningsfaktorer i $y$ och ${\displaystyle u(x,y)} )$ . Inget av dessa antaganden är sant för det allmänna turbulenta gränsskiktsfallet, så försiktighet måste iakttas vid tillämpningen av denna formel.

Termisk förskjutningstjocklek

Den termiska förskjutningstjockleken $\beta ^{*}$ kan tänkas i termer av skillnaden mellan en verklig vätska och en hypotetisk vätska med termisk diffusion avstängd men med hastighet u $\displaystyle u_{0} }$ och temperatur $T_{0}$ . Utan termisk diffusion är temperaturfallet abrupt. Den termiska förskjutningstjockleken är det avstånd med vilket den hypotetiska vätskeytan skulle behöva flyttas i $y$ -riktningen för att ge samma integrerade temperatur som sker mellan väggen och referensplanet vid $\ delta _{T}$ i den verkliga vätskan. Det är en direkt analog till hastighetsförskjutningstjockleken som ofta beskrivs i termer av en ekvivalent förskjutning av en hypotetisk inviscid vätska (se Schlichting för hastighetsförskjutningstjocklek).

Definitionen av den termiska förskjutningstjockleken för inkompressibelt flöde är baserad på integralen av den reducerade temperaturen:

${\beta ^{*}}=\int _{0}^{\infty }{\theta (x,y)\,\mathrm {d } y}$

där den dimensionslösa temperaturen är $\theta (x,y)=(T(x,y)-T_{ 0})/(T_{s}-T_{0})$ . I en vindtunnel erhålls hastighets- och temperaturprofilerna genom att mäta hastigheten och temperaturen vid många diskreta $y$ -värden vid en fast $x$ -position. Den termiska förskjutningstjockleken kan sedan uppskattas genom att numeriskt integrera den skalade temperaturprofilen.

Momentmetod

En relativt ny metod för att beskriva tjockleken och formen på det termiska gränsskiktet använder momentmetoden som vanligtvis används för att beskriva en slumpvariabels sannolikhetsfördelning . Momentmetoden utvecklades från observationen att diagrammet för den andra derivatan av den termiska profilen för laminärt flöde över en platta ser mycket ut som en Gaussisk fördelningskurva . Det är enkelt att gjuta den korrekt skalade termiska profilen till en lämplig integrerad kärna.

De centrala momenten för termisk profil definieras som:

${\xi _{n}}={1 \over \beta ^{*}}\int _{ 0}^{\infty }{(y-m_{T})^{n}\theta (x,y)\mathrm {d} y}$

där medelplatsen, $m_{T}$ , ges av:

$m_{T}={1 \over \beta ^{*}}\int _{0}^{\infty }{y\ theta (x,y)\mathrm {d} y}$

Det finns vissa fördelar med att även inkludera beskrivningar av moment för gränsskiktsprofilderivaten med avseende på höjden över väggen. Betrakta de första derivata temperaturprofilens centrala moment som ges av:

${\epsilon _{n}}=\int _{0}^{\infty }{(y- {\beta ^{*}})^{n}{d\theta (x,y) \over dy}\mathrm {d} y}$

där medelplatsen är den termiska förskjutningstjockleken $\beta ^{*}$ .

Slutligen ges den andra derivata temperaturprofilens centrala moment av:

${\phi _{n}}=\mu _{T}\int _{0 }^{\infty }{(y-{\mu _{T}})^{n}{d^{2}\theta (x,y) \over dy^{2}}\mathrm {d} y }$

där medelplatsen, $\mu _{T}$ , ges av:

${1 \over \mu _{T}}=-\left({\frac {d\theta (x,y)} {dy}}\right)_{y=0}$

Med momenten och den termiska medelpositionen definierade kan gränsskiktets tjocklek och form beskrivas i termer av den termiska gränsskiktets bredd ( varians ), termiska skevheter och termiskt överskott ( excess kurtosis ). För Pohlhausen-lösningen för laminärt flöde på en uppvärmd plan platta har man funnit att termisk gränsskiktstjocklek definierad som $\delta _{T}=m_{T}+4\sigma _{T}$ där $\sigma _{T}=\xi _{2}^{1/2}$ , spårar tjockleken på 99 % mycket bra.

För laminärt flöde ger de tre olika momentfallen alla liknande värden för det termiska gränsskiktets tjocklek. För turbulent flöde kan det termiska gränsskiktet delas upp i ett område nära väggen där termisk diffusion är viktig och ett yttre område där termiska diffusionseffekter för det mesta saknas. Med en ledtråd från gränsskiktets energibalansekvation spårar den andra derivatan gränsskiktsmomenten, ${\phi _{n}}$ tjockleken och formen på den del av det termiska gränsskiktet där termisk diffusivitet ${ \displaystyle {\alpha }}$ är signifikant. Därför gör momentmetoden det möjligt att spåra och kvantifiera området där termisk diffusivitet är viktig med hjälp av ${\phi _{n}}$ moment medan det övergripande termiska gränsskiktet spåras med ${\ epsilon _{n}}$ och ${\xi _{n}}$ moment.

Beräkning av derivatmomenten utan att behöva ta derivator förenklas genom att använda integrering av delar för att reducera momenten till helt enkelt integraler baserat på kärnan med termisk förskjutningstjocklek:

${k_{n}}=\int _{0}^{\infty }{y^{n}\theta (x,y)\ ,\mathrm {d} y}$

Detta innebär att den andra derivatans skevhet, till exempel, kan beräknas som:

${\display style \gamma _{T}=\phi _{3}/\phi _{2}^{3/2}=(2\mu _{T}^{3}-6\beta ^{*}\mu _ {T}^{2}+6\mu _{T}k_{1})/(-\mu _{T}^{2}+2\mu _{T}\beta ^{*})^{ 3/2}}$

Vidare läsning

• Hermann Schlichting, Boundary-Layer Theory , 7:e upplagan, McGraw Hill, 1979.
• Frank M. White, Fluid Mechanics , McGraw-Hill, 5:e upplagan, 2003.
•   Amir Faghri, Yuwen Zhang och John Howell, Advanced Heat and Mass Transfer , Global Digital Press, ISBN 978-0-9842760-0-4 , 2010.

Anteckningar

• Schlichting, Hermann (1979). Boundary-Layer Theory , 7:e upplagan, McGraw Hill, New York, USA
• Weyburne, David (2006). "En matematisk beskrivning av vätskegränsskiktet," Applied Mathematics and Computation, vol. 175, s. 1675–1684
• Weyburne, David (2018). "Nya tjockleks- och formparametrar för att beskriva det termiska gränsskiktet," arXiv:1704.01120[physics.flu-dyn]