I sannolikhetsteorin är det möjligt att approximera momenten för en funktion f av en stokastisk variabel X med hjälp av Taylor-expansions , förutsatt att f är tillräckligt differentierbar och att momenten för X är ändliga.
Första ögonblicket
Givet 
och 
, medelvärdet respektive variansen av 
, en Taylor-expansion av det förväntade värdet på 
kan hittas via
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[f(X)\right]&{}=\operatorname {E} \left[f\left(\mu _{X}+\left(X-\mu _{X}\right)\right)\right]\\&{}\approx \operatorname {E} \left[f(\mu _{X})+f'(\mu _{X})\left(X-\mu _{X}\right)+{\frac {1}{2}}f''(\mu _{X})\left(X-\mu _{X}\right)^{2}\right]\\&{}=f(\mu _{X})+f'(\mu _{X})\operatorname {E} \left[X-\mu _{X}\right]+{\frac {1}{2}}f''(\mu _{X})\operatorname {E} \left[\left(X-\mu _{X}\right)^{2}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9453f100161227140288817a070c40ad87c22b2)
Eftersom ![{\displaystyle E[X-\mu _{X}]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/000acb6340500505b2c39bf53b182169aa6b85d7)
försvinner den andra termen. Dessutom ![E[(X-\mu _{X})^{2}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1906e7bfddbbb4fa3b71cf84887c95cb180995)
σ . Därför,
-
![\operatorname {E}\left[f(X)\right]\approx f(\mu _{X})+{\frac {f''(\mu _{X})}{2}}\sigma _{X}^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27108a7bd1d981b02fa89424930f479ec6fe8d4e)
.
Det är möjligt att generalisera detta till funktioner av mer än en variabel med hjälp av multivariata Taylor-expansions . Till exempel,
![\operatorname {E}\left[{\frac {X}{Y}}\right]\approx {\frac {\operatorname {E}\left[X\right]}{\operatorname {E}\left[Y\right]}}-{\frac {\operatorname {cov}\left[X,Y\right]}{\operatorname {E}\left[Y\right]^{2}}}+{\frac {\operatorname {E}\left[X\right]}{\operatorname {E}\left[Y\right]^{3}}}\operatorname {var}\left[Y\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf8b82f9c15c42b3fa41c397dd3b6a1d67735539)
Andra ögonblicket
Liknande,
![{\displaystyle \operatorname {var} \left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname {E} \left[X\right])\right)^{2}\operatorname {var} \left[X\right]=\left(f'(\mu _{X})\right)^{2}\sigma _{X}^{2}-{\frac {1}{4}}\left(f''(\mu _{X})\right)^{2}\sigma _{X}^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94fb3c55d082462f42a9a9b9cb7bae4d1e7c3053)
Ovanstående erhålls med hjälp av en andra ordningens approximation, enligt metoden som används för att uppskatta det första ögonblicket. Det kommer att vara en dålig approximation i fall där är mycket icke-linjär. Detta är ett specialfall av deltametoden .
Vi tar faktiskt .
Med 
får vi ![{\displaystyle \operatorname {E} \left[Y^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/903a9bbb4f14aa8ecd2db07dd1180baa01d6b30f)
. Variansen beräknas sedan med formeln ![{\displaystyle \operatorname {var} \left[Y\right]=\operatorname {E} \left[Y^{2}\right]-\mu _{Y}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93ec1a80c2e68b3f7b91aaffd5c0655600c10a4f)
.
Ett exempel är,
![\operatorname {var}\left[{\frac {X}{Y}}\right]\approx {\frac {\operatorname {var}\left[X\right]}{\operatorname {E}\left[Y\right]^{2}}}-{\frac {2\operatorname {E}\left[X\right]}{\operatorname {E}\left[Y\right]^{3}}}\operatorname {cov}\left[X,Y\right]+{\frac {\operatorname {E}\left[X\right]^{2}}{\operatorname {E}\left[Y\right]^{4}}}\operatorname {var}\left[Y\right].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/011aff1036d96609635f44161e05afa36d783d19)
Den andra ordningens approximation, när X följer en normalfördelning, är:
![{\displaystyle \operatorname {var} \left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname {E} \left[X\right])\right)^{2}\operatorname {var} \left[X\right]+{\frac {\left(f''(\operatorname {E} \left[X\right])\right)^{2}}{2}}\left(\operatorname {var} \left[X\right]\right)^{2}=\left(f'(\mu _{X})\right)^{2}\sigma _{X}^{2}+{\frac {1}{2}}\left(f''(\mu _{X})\right)^{2}\sigma _{X}^{4}+\left(f'(\mu _{X})\right)\left(f'''(\mu _{X})\right)\sigma _{X}^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14c6f8695bf69e9302602a388257f566ba6f1891)
Första produktögonblicket
För att hitta en andra ordningens approximation för kovariansen av funktioner för två slumpvariabler (med samma funktion applicerad på båda), kan man gå tillväga enligt följande. Observera först att ![{\displaystyle \operatorname {cov} \left[f(X),f(Y)\right]=\operatorname {E} \left[f(X)f(Y)\right]-\operatorname {E} \left[f(X)\right]\operatorname {E} \left[f(Y)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb30d1f4b08217ad7dc8430b0af14b93f0a27a02)
. Eftersom en andra ordningens expansion för ![{\displaystyle \operatorname {E} \left[f(X)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904f0b10ffff22db15df5d7556258e70aeaa9693)
redan har härletts ovan, återstår bara att hitta ![{\displaystyle \operatorname {E} \left[f(X)f(Y)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/306d2c5c194290007ebe5a25f48e47107ae5a61d)
. Behandling av 
som en funktion med två variabler, är andra ordningens Taylor-expansion som följer:
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(X)f(Y)&{}\approx f(\mu _{X})f(\mu _{Y})+(X-\mu _{X})f'(\mu _{X})f(\mu _{Y})+(Y-\mu _{Y})f(\mu _{X})f'(\mu _{Y})+{\frac {1}{2}}\left[(X-\mu _{X})^{2}f''(\mu _{X})f(\mu _{Y})+2(X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})f'(\mu _{X})f'(\mu _{Y})+(Y-\mu _{Y})^{2}f(\mu _{X})f''(\mu _{Y})\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1967664e3eb99df8bca7a26321484a0cbdeb07f)
Att ta förväntningar på ovanstående och förenkla—använda identiteterna ![{\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=\operatorname {var} (X)+\left[\operatorname {E} (X)\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787ab52bc02aee12a354b05e722f54c59e78e48e)
och ![{\displaystyle \operatorname {E} (XY)=\operatorname {cov} (X,Y)+\left[\operatorname {E} (X)\right]\left[\operatorname {E} (Y)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dcf130a425a5c5c545cdecd7ecbda55eaff943d)
—leder till ![{\displaystyle \operatorname {E} \left[f(X)f(Y)\right]\approx f(\mu _{X})f(\mu _{Y})+f'(\mu _{X})f'(\mu _{Y})\operatorname {cov} (X,Y)+{\frac {1}{2}}f''(\mu _{X})f(\mu _{Y})\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{2}}f(\mu _{X})f''(\mu _{Y})\operatorname {var} (Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/902dd8ed2792705004ada3a57b5fe1fa288b8b76)
. Därav,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} \left[f(X),f(Y)\right]&{}\approx f(\mu _{X})f(\mu _{Y})+f'(\mu _{X})f'(\mu _{Y})\operatorname {cov} (X,Y)+{\frac {1}{2}}f''(\mu _{X})f(\mu _{Y})\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{2}}f(\mu _{X})f''(\mu _{Y})\operatorname {var} (Y)-\left[f(\mu _{X})+{\frac {1}{2}}f''(\mu _{X})\operatorname {var} (X)\right]\left[f(\mu _{Y})+{\frac {1}{2}}f''(\mu _{Y})\operatorname {var} (Y)\right]\\&{}=f'(\mu _{X})f'(\mu _{Y})\operatorname {cov} (X,Y)-{\frac {1}{4}}f''(\mu _{X})f''(\mu _{Y})\operatorname {var} (X)\operatorname {var} (Y)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a68317901c1d4652df64c01890265e1d49b2d4)
Se även
Anteckningar
Vidare läsning