T-kriterium

T -felkriteriet är en uppsättning materialfelskriterier som kan användas för att förutsäga både spröda och duktila brott.

Dessa kriterier utformades som en ersättning för von Mises avkastningskriteriet som förutsäger det opysiska resultatet att ren hydrostatisk dragbelastning av metaller aldrig leder till brott. T-kriterierna använder den volymetriska spänningen utöver den deviatoriska spänningen som används av von Mises-kriteriet och liknar Drucker Prager flytningskriteriet . T-kriterier har utformats utifrån energiöverväganden och observationen att den reversibla elastiska energidensitetslagringsprocessen har en gräns som kan användas för att avgöra när ett material har havererat.

Beskrivning

Endast i fallet med ren skjuvning lagras töjningsenergitätheten i materialet och beräknas av arean under ${\bar {\sigma }}$ - ${\bar {\epsilon } }$ kurva, representerar den totala mängden lagrad energi. I alla andra fall finns en divergens mellan den faktiska och beräknade lagrade energin i materialet, vilket är maximalt vid ren hydrostatisk belastning, där det enligt von Mises-kriteriet inte lagras energi. Denna paradox löses om en andra konstitutiv ekvation introduceras, som relaterar det hydrostatiska trycket p till volymförändringen $\Theta$ . Dessa två kurvor, nämligen ${\bar {\sigma }}-{\bar {\epsilon }}$ och (p- ${\displaystyle \Theta } )$ är väsentliga för en fullständig beskrivning av materiellt beteende fram till misslyckande. Således måste två kriterier beaktas när man överväger misslyckande och två konstitutiva ekvationer som beskriver materiell respons. Enligt detta kriterium sätts en övre gräns för tillåtna töjningar antingen av ett kritiskt värde Τ _V,0 av den elastiska energitätheten på grund av volymförändring ( dilatationsenergi ) eller av ett kritiskt värde Τ _D,0 av den elastiska energitätheten pga. att ändra form ( förvrängningsenergi ). Materialvolymen anses ha misslyckats av omfattande plastiskt flöde när distorsionsenergin Τ _d når det kritiska värdet Τ _D,0 eller av omfattande dilatation när dilatationsenergin Τ _v når ett kritiskt värde Τ _V,0 . De två kritiska värdena Τ _D,0 och Τ _V,0 anses vara materialkonstanter oberoende av formen på volymen av materialet och den inducerade belastningen, men beroende av töjningshastigheten och temperaturen.

Utplacering för isotropiska metaller

För utvecklingen av kriteriet används ett kontinuummekaniskt tillvägagångssätt. Materialvolymen anses vara ett kontinuerligt medium utan någon speciell form eller tillverkningsfel. Det anses också bete sig som ett linjärt elastiskt isotropiskt härdande material, där spänningar och töjningar är relaterade till den generaliserade Hooks lag och av den inkrementella teorin om plasticitet med von Mises flödesregel. För sådana material anses följande antaganden gälla: (a) Den totala ökningen av en töjningskomponent $d\epsilon _{i,j}$ sönderdelas till elastiken och plasten $d\epsilon _{i,j}^{e}$ inkrement och $d\epsilon _{i,j}^{p}$ respektive: $d\epsilon _{i,j}=d\epsilon _{i,j}^{e}+d\epsilon _{i ,j}^{p}$ (1) (b) Den elastiska töjningsökningen $d\epsilon _{i,j}^{e}$ ges av Hookes lag: ${\displaystyle d\epsilon _{i,j}^{e}={\cfrac {1}{ 2G}}(d{\sigma }_{i,j}-{\cfrac {3\nu}{1+{\nu }}}{\delta }_{i,j}dp)} (2$ ) där $G={\cfrac {E}{2(1+\nu )}}$ skjuvmodulen , ν $\displaystyle \nu }$ Poissons förhållande och ${\delta }_{i,j$ } Kröneckerdeltat . (c) Det plastiska töjningsinkrementet $d\epsilon _{i,j}^{p}$ är proportionellt mot respektive avvikande spänning: ${\displaystyle d\epsilon _{i,j}^{p}=s_{i,j}d{\lambda }} (3$ ) där ${ \displaystyle s_{i,j}={\sigma }_{i,j}-{\delta }_{i,j}p} och d λ {\displaystyle d{\lambda }$ } $skalär$ . (3) innebär att plastpåkänningen ökar:

• beror på värdet av spänningar, inte på deras variation
• är oberoende av den hydrostatiska komponenten i Cauchy-spänningstensorn
• är kolinjär med deviatoriska spänningarna (isotropt material)

(d) Ökningen i plastarbete per volymenhet med (4.16) är: ${\displaystyle dw_{p}= {\sigma }_{i,j}d{\epsilon }_{i,j}^{p}={\sigma }_{i,j}s_{i,j}d{\lambda }} ($ 4 ) och ökningen i töjningsenergi, $dT$ , är lika med den totala differentialen för potentialen ${\Pi }$ : ${\displaystyle dT=d{\Pi }=pd{\Theta }+{\sigma }d{\epsilon }=dT_{V}+dT_{D}^{*}} (5$ ) där ${\Theta }={\epsilon }_{11}+{\epsilon }_{22}+{\epsilon }_{33}$ , $p={\cfrac {1}{3}}({\sigma }_{11}+{\sigma }_{22}+{\sigma }_ {33})$ och för metaller som följer von Mises avkastningslag, per definition ${\bar {\sigma }}={\cfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}[({\sigma }_{11}-{\sigma$ (6) ${\displaystyle {\bar {\epsilon }}={\cfrac {1'''}{2}}{\sqrt {2}}[({\epsilon }_{11}-{$ (7) är motsvarande spänning respektive töjning. I (5) den första termen på höger sida $dT_{V}=pd\Theta$ ökningen i elastisk energi för enhetsvolymförändring på grund av hydrostatiskt tryck. Dess integral över en lastväg är den totala mängden dilatationstöjningsenergitäthet som lagras i materialet. Den andra termen $dT_{D}^{*}={\bar {\sigma }}d{\bar {\epsilon }}$ är energin som krävs för en infinitesimal förvrängning av materialet. Integralen av denna kvantitet är den distorsionella töjningsenergitätheten. Teorin om plastiskt flöde tillåter utvärdering av spänningar, töjningar och töjningsenergitätheter längs en bana förutsatt att $d{\lambda }$ i (3) är känd. I elasticitet, linjär eller olinjär, $d{\lambda }$ . I fallet med töjningshärdande material $d{\lambda }$ utvärderas genom att registrera ${\bar {\sigma }}={\bar { \sigma }}({\bar {\epsilon }})$ kurva i ett rent skjuvexperiment. Härdningsfunktionen efter punkt "y" i figur 1 är då: ${\displaystyle H({\bar {\sigma }},{\bar {\epsilon } })={\cfrac {d{\bar {\sigma }}}{d{\bar {\epsilon }}}}} (8) och den infinitesimala skalären d λ {\displaystyle$ d { $}}$ är: $d{\lambda }={\cfrac {3}{2{\bar {\sigma }}^{2}}}dw_{p}( H)$ (9) där $dw_{p}(H)$ är den oändliga ökningen av plastarbete (se figur 1). Den elastiska delen av den totala distorsionella töjningsenergitätheten är: $dT_{D}={\bar {\sigma }}d{\bar {\epsilon }}^{e }$ (10) där ${\bar {\epsilon }}^{e}$ är den elastiska delen av den ekvivalenta töjningen. När det inte finns något olinjärt elastiskt beteende, genom att integrera (4.22) är den elastiska distorsionella töjningsenergitätheten: ${\displaystyle T_{D}=\int {\ bar {\sigma }}d{\bar {\epsilon }}^{e}={\cfrac {1}{6G}}{\bar {\sigma }}^{2}} (11) På liknande sätt, genom$ att integrera ökningen i elastisk energi för enhetsvolymförändring på grund av hydrostatiskt tryck, $dT_{V}=pd\Theta$ , dilatationstöjningens energitäthet är: $T_{V}=\int {pd\Theta }={\cfrac {1}{2K}}p^{2}={\cfrac {1}{2 }}K{\Theta }^{2}$ (12) om man antar att enhetsvolymändringen ${\Theta }$ är den elastiska töjningen, proportionell mot det hydrostatiska trycket, p (Figur 2): ${\Theta }={\cfrac {1}{2K}}p$ eller $d{\Theta }={\cfrac {1}{K}} dp$ (13) där ${\Theta }={\epsilon }_{11}+{\epsilon }_{22}+{\epsilon }_{33}$ , $p={\cfrac {1}{3}}({\sigma }_{11}+{\sigma }_{22}+ {\sigma }_{33})$ och $K={\cfrac {E}{3(1-2\nu )}}$ materialets bulkmodul . Sammanfattningsvis, för att använda (12) och (13) för att fastställa felet i en materialvolym, gäller följande antaganden:

• Materialet är isotropt och följer von Mises skördevillkor
• Den elastiska delen av spännings-töjningskurvan är linjär
• Förhållandet mellan hydrostatiskt tryck och enhetsvolymförändring är linjärt
• Derivatan (härdningslutningen) måste vara positiv eller noll

Begränsningar

Kriteriet kommer inte att förutsäga något misslyckande på grund av förvrängning för elastiskt-perfekt plast, styv plast eller töjningsmjukgörande material. För fallet med olinjär elasticitet måste lämpliga beräkningar för integralerna i och (12) och (13) som tar hänsyn till de olinjära elastiska materialegenskaperna utföras. De två tröskelvärdena för den elastiska töjningsenergin $T_{V,0}$ T $\displaystyle T_{D,0}}$ härleds från experimentella data. En nackdel med kriteriet är att elastiska töjningsenergitätheter är små och jämförelsevis svåra att härleda. Icke desto mindre presenteras exempelvärden i litteraturen samt tillämpningar där T-kriteriet verkar fungera ganska bra.