Superlogaritm

I matematik är superlogaritmen en av tetrationens två omvända funktioner . Precis som exponentiering har två inversa funktioner, rötter och logaritmer , har tetration två inversa funktioner, superrötter och superlogaritmer. Det finns flera sätt att tolka superlogaritmer:

• Som Abelfunktion för exponentialfunktioner ,
• Som den omvända funktionen av tetration med avseende på höjden,
• Som en generalisering av Robert Munafos stora talklasssystem ,

För positiva heltalsvärden är superlogaritmen med bas- e ekvivalent med antalet gånger en logaritm måste itereras för att komma till 1 (den Itererade logaritmen ) . Detta är dock inte sant för negativa värden och kan därför inte betraktas som en fullständig definition. Den exakta definitionen av superlogaritmen beror på en exakt definition av icke-integral tetration (det vill säga ${^{y}x}$ för y inte ett heltal). Det finns ingen tydlig konsensus om definitionen av icke-integral tetration och därför finns det inte heller någon tydlig konsensus om superlogaritmen för icke-heltalsingångar.

Definitioner

Superlogaritmen, skriven $\operatorname {slog} _{b}(z),$ definieras implicit av

$\operatörsnamn {slog} _{b}(b^{z})=\operatörsnamn {slog} _{b}(z)+1$ och

$\operatorname {slog} _{b}(1)=0.$

Denna definition innebär att superlogaritmen endast kan ha heltalsutgångar och att den endast är definierad för ingångar av formen $b,b^{b},b^{b^ {b}},$ och så vidare. För att utöka domänen för superlogaritmen från denna glesa uppsättning till de reella talen, har flera tillvägagångssätt tillämpats. Dessa inkluderar vanligtvis ett tredje krav utöver de som anges ovan, som varierar från författare till författare. Dessa tillvägagångssätt är följande:

• Den linjära approximationen av Rubstov och Romerio,
• Den kvadratiska approximationen av Andrew Robbins,
• Den vanliga Abelfunktionsmetoden av George Szekeres,
• Det iterativa funktionella tillvägagångssättet av Peter Walker, och
• Den naturliga matrismetoden av Peter Walker, och senare generaliserad av Andrew Robbins.

Uppskattningar

Vanligtvis definieras specialfunktionerna inte bara för de reella värdena av argument, utan för komplexa plan, och differentiell och/eller integral representation, såväl som expansioner i konvergenta och asymptotiska serier. Ändå finns inga sådana representationer tillgängliga för slog -funktionen. Ändå föreslås de enkla approximationerna nedan.

Linjär approximation

Den linjära approximationen till superlogaritmen är:

$\ operatörsnamn {slog} _{b}(z)\approx {\begin{cases}\operatörsnamn {slog} _{b}(b^{z})-1&{\text{if }}z\leq 0\\ -1+z&{\text{if }}0<z\leq 1\\\operatörsnamn {slog} _{b}(\log _{b}(z))+1&{\text{if }}1< z\\\end{cases}}$

som är en styckvis definierad funktion med en linjär "kritisk bit". Denna funktion har egenskapen att den är kontinuerlig för alla verkliga z ( $C^{0}$ kontinuerliga). De första författarna som kände igen denna approximation var Rubstov och Romerio, även om det inte finns i deras papper - nu 404 -, det kan hittas i deras algoritm likaså 404 - som används i deras programvaruprototyp. Den linjära approximationen till tetration hade å andra sidan varit känd tidigare, till exempel av Ioannis Galidakis. Detta är en naturlig invers av den linjära approximationen till tetration .

Författare som Holmes inser att superlogaritmen skulle vara en stor användning för nästa utveckling av datorflytttalsaritmetiken, men för detta ändamål behöver funktionen inte vara oändligt differentierbar. Sålunda, för att representera stora tal, ger den linjära approximationsmetoden tillräcklig kontinuitet ( $C^{0}$ kontinuitet) för att säkerställa att alla reella tal kan representeras på en superlogaritmisk skala.

Kvadratisk approximation

Den kvadratiska approximationen till superlogaritmen är:

$\operatorname {slog} _{b}(z)\approx {\begin{cases}\ operatornamn {slog} _{b}(b^{z})-1&{\text{if }}z\leq 0\\-1+{\frac {2\log(b)}{1+\log( b)}}z+{\frac {1-\log(b)}{1+\log(b)}}z^{2}&{\text{if }}0<z\leq 1\\\operatörsnamn {slog} _{b}(\log _{b}(z))+1&{\text{if }}1<z\end{cases}}$

som är en styckvis definierad funktion med en kvadratisk "kritisk bit". Denna funktion har egenskapen att den är kontinuerlig och differentierbar för alla verkliga z ( $C^{1}$ kontinuerliga). Den första författaren att publicera denna uppskattning var Andrew Robbins i denna tidning .

Den här versionen av superlogaritmen gör det möjligt att utföra grundläggande kalkyloperationer på superlogaritmen, utan att kräva en stor mängd lösning i förväg. Med denna metod kan grundläggande undersökning av egenskaperna hos superlogaritmen och tetration utföras med en liten mängd beräkningsoverhead.

Tillvägagångssätt till Abel-funktionen

Huvudartikel: Abel-funktion

Abel-funktionen är vilken funktion som helst som uppfyller Abels funktionella ekvation:

$A_{f}(f(x))=A_{f}(x)+1$

Givet en Abelfunktion $A_{f}(x)$ kan en annan lösning erhållas genom att addera vilken konstant $A'_{ f}(x)=A_{f}(x)+c$ . Med tanke på att superlogaritmen definieras av $\operatorname {slog} _{b}(1)=0$ och den tredje speciella egenskapen som skiljer sig mellan olika tillvägagångssätt, är Abel-funktionen för exponentiell funktion kunde bestämmas unikt.

Egenskaper

Andra ekvationer som superlogaritmen uppfyller är:

$\operatorname {slog} _{b}(z)=\operatörsnamn {slog} _{b}(\log _{ b}(z))+1$

$\operatorname {slog} _{b}(z)\geq -2$ för alla verkliga z

Förmodligen är det första exemplet på ett matematiskt problem där lösningen uttrycks i termer av superlogaritmer följande:

Betrakta orienterade grafer med N noder och sådana att orienterad väg från nod i till nod j existerar om och endast om $i>j.$ Om längden på alla sådana banor är högst k kanter, är det minsta möjliga totala antalet kanter:

$\Theta (N^{2})$ för $k=1$

$\Theta (N\log N)$ för $k=2$

${\ displaystyle \Theta (N\log \log N)}$ för $k=3$

$\Theta (N\operatörsnamn {slog} N)$ för ${ \displaystyle k=4}$ och $k=5$

(MI Grinchuk, 1986; fall $k>5$ kräver super-super-logaritmer, super-super-super-logaritmer etc. )

Superlogaritm som invers av tetration

$f={\rm {slog}}_{\rm {e}}(z)$ i det komplexa z-planet.

Som tetration (eller superexponentiell) ${\rm {sexp}}_{b}(z):={{^{z}}b}$ är misstänks vara en analytisk funktion, åtminstone för vissa värden på $~b~$ , den inversa funktionen ${\rm {slog}}_{ b}={\rm {sexp}}_{b}^{-1}$ kan också vara analytisk. Beteende för ${\displaystyle ~{\rm {slog}}_{b}(z)~} ,$ definierat på ett sådant sätt, det komplexa $~z~$ -planet skissas i figur 1 för fallet $~b=e~$ . Nivåer av heltalsvärden för reella och heltalsvärden för imaginära delar av slogfunktionerna visas med tjocka linjer. Om existensen och unikheten hos den analytiska förlängningen av tetration tillhandahålls av villkoret för dess asymptotiska tillvägagångssätt till de fixerade punkterna $L\approx 0,318+1,337{\!~{\rm {i}} }$ och $L^{*}\approx 0,318-1,337{\!~{\rm {i}}}$ av $L=\ ln(L)$ i de övre och nedre delarna av det komplexa planet, då bör den inversa funktionen också vara unik. En sådan funktion är reell vid den reella axeln. Den har två grenpunkter vid $~z=L~$ och $~z=L^{*}$ . Den närmar sig sitt gränsvärde $-2$ i närheten av den negativa delen av den reella axeln (hela remsan mellan snitten som visas med rosa linjer i figuren), och växer långsamt upp längs den positiva riktningen av den reella axeln axel. Eftersom derivatan vid den reella axeln är positiv, förblir den imaginära delen av slog positiv precis ovanför den reella axeln och negativ strax under den reella axeln. Existensen, unikheten och generaliseringarna diskuteras.

Se även

• Itererad logaritm
• Tetration

• Ioannis Galidakis, Mathematics , publicerad online (tillgänglig nov 2007).
• W. Neville Holmes, Composite Arithmetic: Proposal for a New Standard , IEEE Computer Society Press, vol. 30, nej. 3, s. 65–73, 1997.
• Robert Munafo, Large Numbers på MROB , publicerad online (tillgänglig nov 2007).
• CA Rubtsov och GF Romerio, Ackermanns funktion och ny aritmetisk operation , publicerad online (tillgänglig nov 2007).
• Andrew Robbins, Solving for the Analytic Piecewise Extension of Tetration and the Super-logarithm , publicerad online (tillgänglig nov 2007).
• George Szekeres, Abels ekvation och regelbunden tillväxt : variationer på ett tema av Abel, Experiment. Matematik. Volym 7, nummer 2 (1998), 85-100.
• Peter Walker, Infinitely Differentiable Generalized Logarithmic and Exponential Functions , Mathematics of Computation, Vol. 57, nr 196 (okt. 1991), s. 723–733.

externa länkar

• Rubstov och Romerio, Hyper-operations tråd 1
• Rubstov och Romerio, Hyper-operations tråd 2