Summan av fyra kuber problem

Olöst problem i matematik :

Är varje heltal summan av fyra perfekta kuber?

(fler olösta problem i matematik)

Summan av fyra kuber-problemet frågar om varje heltal är summan av fyra kuber av heltal. Det antas att svaret är jakande, men denna gissning har varken bevisats eller motbevisats. Vissa av kuberna kan vara negativa tal , i motsats till Warings problem med summor av kuber, där de måste vara positiva.

Substitutionerna $X=T$ , $Y=T$ och $Z=-T+1$ i identiteten

$$(X+Y+Z)^{3}-X ^{3}-Y^{3}-Z^{3}=3(X+Y)(X+Z)(Y+Z)$$

leda till identiteten

$$(T+1)^{3}+(-T)^{3} +(-T)^{3}+(T-1)^{3}=6T,$$

vilket visar att varje heltalsmultipel av 6 är summan av fyra kuber. (Mer generellt visar samma bevis att varje multipel av 6 i varje ring är summan av fyra kuber.)

Eftersom varje heltal är kongruent med sin egen kub modulo 6, följer det att varje rationellt heltal är summan av fem kuber av heltal.

1966 bevisade VA Demjanenko att varje heltal som varken är kongruent med 4 eller −4 modulo 9 är summan av fyra kuber av heltal. För detta använde han följande identiteter:

$$6x=(x+1)^{3}+(x-1)^{3}-x^ {3}-x^{3},$$

$$6x+3=x^{3}+(-x+ 4)^{3}+(2x-5)^{3}+(-2x+4)^{3},$$

$$18x+1=(2x+14 )^{3}+(-2x-23)^{3}+(-3x-26)^{3}+(3x+30)^{3},$$

$$18x+7=(x+2)^ {3}+(6x-1)^{3}+(8x-2)^{3}+(-9x+2)^{3},$$

och

$$18x+8=(x-5)^{3}+(-x+14)^{3}+(-3x+29)^{3}+(3x-30)^{3}.$$

Dessa identiteter (och de som härrör från dem genom att övergå till motsatser ) visar omedelbart att varje heltal som varken är kongruent med 4 eller −4 modulo 9 och varken är kongruent med 2 eller −2 modulo 18 är en summa av fyra kuber av rationell heltal. Med hjälp av mer subtila resonemang bevisade Demjanenko att heltal kongruenta med 2 eller −2 modulo 18 också är summan av fyra kuber av heltal.

Problemet uppstår därför endast för heltal kongruenta med 4 eller till −4 modulo 9. Ett exempel är

$$13=10^{3}+7^{3}+1^{3}+(-11)^{3},$$

men det är inte känt om varje sådant heltal kan skrivas som summan av fyra kuber.

Se även

• Summor av tre kuber