Strukturerbar algebra

I abstrakt algebra är en strukturerbar algebra en viss sorts enhetlig involutiv icke-associativ algebra över ett fält . Till exempel är alla Jordaniska algebror strukturerbara algebror (med den triviala involutionen), liksom vilken alternativ algebra som helst med involution, eller vilken central enkel algebra som helst med involution. En involution betyder här en linjär antihomomorfism vars kvadrat är identiteten.

Antag att A är en enhetlig icke-associativ algebra över ett fält, och $x\mapsto {\bar {x}}$ är en involution. Om vi ​​definierar $V_{x,y}z:=(x{\bar {y} })z+(z{\bar {y}})x-(z{\bar {x}})y$ och $[x,y]=xy -yx$ , då säger vi att A är en strukturerbar algebra om:

$[V_{x,y},V_{z,w}]=V_{V_{x,y}z,w}-V_{z,V_{y,x}w}.$

Strukturerbara algebra introducerades av Allison 1978. Kantor-Koecher-Tits-konstruktionen producerar en Lie-algebra från vilken jordansk algebra som helst , och denna konstruktion kan generaliseras så att en Lie-algebra kan produceras från en strukturerbar algebra. Dessutom bevisade Allison över fält med karakteristisk noll att en strukturerbar algebra är central enkel om och endast om motsvarande Lie-algebra är central enkel.

Ett annat exempel på en strukturerbar algebra är en 56-dimensionell icke-associativ algebra som ursprungligen studerades av Brown 1963, som kan konstrueras ur en Albert algebra . När basfältet är algebraiskt stängt över karakteristiken inte 2 eller 3, har automorfismgruppen för en sådan algebra en identitetskomponent lika med den enkelt kopplade exceptionella E6 _algebraiska gruppen av typ .