Strichartz uppskattning

I matematisk analys är Strichartz uppskattningar en familj av ojämlikheter för linjärt dispersiva partiella differentialekvationer . Dessa ojämlikheter etablerar storlek och förfall av lösningar i Lebesgue-rum med blandade normer . De noterades först av Robert Strichartz och uppstod ur kopplingar till Fourierrestriktionsproblemet.

Exempel

Betrakta den linjära Schrödinger-ekvationen i $\mathbb {R} ^{d}$ med h = m = 1. Då ges lösningen för initialdata ${\displaystyle u_{0}} av$$e^{it\Delta /2}u_{0}$ . Låt q och r vara reella tal som uppfyller $2\leq q,r\leq \infty$ ; ${\frac {2}{q}}+{\frac {d}{r}}={\frac {d}{2}}$ ; och $(q,r,d)\neq (2,\infty ,2)$ .

I det här fallet tar de homogena Strichartz-uppskattningarna formen:

$\|e^{it\Delta /2}u_{0}\|_{L_{t}^{q}L_{x}^{r}}\leq C_{d,q,r}\ |u_{0}\|_{L_{x}^{2}}.$

Antag vidare att ${\tilde {q}},{\tilde {r}}$ uppfyller samma begränsningar som $q,r$ och ${\tilde {q}}',{\tilde {r}}'$ är deras dubbla exponenter, då tar de dubbla homogena Strichartz-uppskattningarna formen:

$\left\|\int _{\mathbb {R} }e^{-is\Delta /2}F(s)\,ds\right\|_{L_{x}^{2}}\ leq C_{d,{\tilde {q}},{\tilde {r}}}\|F\|_{L_{t}^{{\tilde {q}}'}L_{x}^{{ \tilde {r}}'}}.$

De inhomogena Strichartz-uppskattningarna är:

$\left\|\int _{s<t}e^{i(ts)\Delta /2}F(s)\,ds\right\|_{L_{t}^{q}L_{ x}^{r}}\leq C_{d,q,r,{\tilde {q}},{\tilde {r}}}\|F\|_{L_{t}^{{\tilde { q}}'}L_{x}^{{\tilde {r}}'}}.$