Stokes operatör

Stokes- operatorn , uppkallad efter George Gabriel Stokes , är en obegränsad linjär operator som används i teorin om partiella differentialekvationer , speciellt inom områdena vätskedynamik och elektromagnetik .

Definition

Om vi ​​definierar $P_{\sigma }$ som Leray-projektionen på divergensfria vektorfält , så definieras Stokes Operator $\displaystyle A} av$ {

$A:=-P_{\sigma }\Delta ,$

där $\Delta \equiv \nabla ^{2}$ är Laplacian . Eftersom $A$ är obegränsad måste vi också ge dess definitionsdomän, som definieras som ${\mathcal {D}}(A)=H^{2 }\cap V$ , där $V=\{{\vec {u}}\in (H_{0}^{1}(\Omega ))^{n}|\operatörsnamn {div} \,{\vec {u}}=0\}$ . Här $\Omega$ en begränsad öppen mängd i $\mathbb {R} ^{n}$ (vanligtvis n = 2 eller 3), $H^{ 2}(\Omega )$ och $H_{0}^{1}(\Omega )$ är standard Sobolev-rymden och divergensen av ${\vec {u} }$ tas i distributionsbemärkelse .

Egenskaper

För en given domän $\Omega$ som är öppen, avgränsad och har ${\displaystyle C^{2}} -gräns,$ är Stokes-operatorn ${\displaystyle A} en$ självadjoint positiv-definitiv operator med avseende på $L^{2}$ inre produkt. Den har en ortonormal bas av egenfunktioner $\{w_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ motsvarande egenvärden ${ \displaystyle \{\lambda _{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ som uppfyller

$0<\lambda _{1}<\lambda _{2}\leq \lambda _{3}\cdots \leq \lambda _{k }\leq \cdots$

och $\lambda _{k}\rightarrow \infty$ som $k\rightarrow \infty$ . Observera att det minsta egenvärdet är unikt och inte noll. Dessa egenskaper tillåter en att definiera befogenheter för Stokes-operatören. Låt $\alpha >0$ vara ett reellt tal. Vi definierar $A^{\alpha }$ genom dess verkan på ${\vec {u}}\in {\mathcal {D}}(A)$ :

$A^{\alpha }{\vec {u}}=\summa _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}^{\alpha }u_{k}{\vec {w_{k}}}$

där $u_{k}:=({\vec {u}},{\vec {w_{k}}})$ och ${ \displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ är den inre produkten ${\displaystyle L^{2}(\Omega )} .$

Den inversa $A^{-1}$ av Stokes-operatorn är en begränsad, kompakt, självtillslutande operator i rummet ${\displaystyle H:=\{{\vec {u}}\in (L^{2}(\Omega ))^{n}|\operatörsnamn {div} \,{\vec {u}}=0{\text{ och }}\gamma ({\vec {u}})=0\}} , där γ {\displaystyle$ \ $}$ är spåroperatorn . Dessutom $A^{-1}:H\rightarrow V$ injektiv.

•   Temam, Roger (2001), Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis , AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-2737-5
• Constantin, Peter och Foias, Ciprian. Navier-Stokes Equations , University of Chicago Press, (1988)