Steinhaus teorem

Inom det matematiska området för verklig analys , säger Steinhaus -satsen att skillnadsmängden för en uppsättning positiva mått innehåller en öppen grannskap på noll. Det bevisades först av Hugo Steinhaus .

Påstående

Låt A vara en Lebesgue-mätbar mängd på den verkliga linjen så att Lebesgue-måttet på A inte är noll. Sedan sattes skillnaden

AA=\{ab\mid a,b\in A\}

innehåller ett öppet område av ursprunget.

Den allmänna versionen av satsen, först bevisad av André Weil , säger att om G är en lokalt kompakt grupp och A ⊂ G en delmängd av positivt (vänster) Haarmått , då

AA^{-1}=\{ab^{-1}\mid a,b\in A\}

innehåller ett öppet område av enhet.

Satsen kan också utökas till icke ringa mängder med egenskapen Baire . Beviset för dessa tillägg, ibland även kallat Steinhaus-satsen, är nästan identiskt med det nedan.

Bevis

Följande enkla bevis kan hittas i en samling problem av framlidne professor HM Martirosian från Yerevan State University, Armenien (ryska).

Tänk på att för alla $\varepsilon >0$ finns det en öppen uppsättning ${\displaystyle \,{\cal {U}}},$ så att $E\subset {\ cal {U}}$ och ${\displaystyle m{\cal {U}}<mE+\varepsilon } ,$ $1/2<\alpha <1$ given , kan vi hitta ett lämpligt intervall ${\displaystyle \Delta =(a,b)} så att$ vi kan ta bara en lämplig del av positivt mått på mängden $E$ antag att $E\subset \Delta$ , och att $mE>\alpha (ba)$ .

Antag nu att $|x|<\delta$ , där $\delta =(2\alpha -1)(ba)$ . Vi ska visa att det finns gemensamma punkter i uppsättningarna $x+E$ och $E$ . Annars $2mE=m\{(x+E)\cup E\}\leq m\{( x+\Delta )\cup \Delta \}$ . Men eftersom $\delta <ba$ , och

$m\{(x+\Delta )\cup \Delta \}=b-a+|x|<b-a+\delta$ ,

vi skulle få ${\displaystyle 2mE<b-a+\delta =2\alpha (ba)} ,$ vilket motsäger mängdens initiala egenskap. Därför, eftersom ${\displaystyle (x+E)\cap E\neq \varnothing } ,$ när $|x|<\delta$ , det följer omedelbart att $\{x;|x|<\delta \}\subset EE$ , vad vi behövde fastställa.

Naturlig följd

En följd av denna sats är att varje mätbar riktig undergrupp av $(\mathbb {R} ,+)$ har måttet noll.

Se även

Falconers gissningar

Anteckningar

Steinhaus, Hugo (1920). "Sur les distances des points dans les ensembles de mesure positive" (PDF) . Fond. Matematik. (på franska). 1 :93-104. doi : 10.4064/fm-1-1-93-104 . .
Weil, André (1940). L'intégration dans les groupes topologiques et ses applikationer . Hermann.
Stromberg, K. (1972). "Ett elementärt bevis på Steinhaus sats". Proceedings of the American Mathematical Society . 36 (1): 308. doi : 10.2307/2039082 . JSTOR 2039082 .
Sadhukhan, Arpan (2020). "Ett alternativt bevis på Steinhaus sats". American Mathematical Monthly . 127 (4): 330. arXiv : 1903.07139 . doi : 10.1080/00029890.2020.1711693 . S2CID 84845966 .

Väth, Martin (2002). Integrationsteori: en andra kurs . World Scientific. ISBN 981-238-115-5 .