Mätbar grupp

Inom matematiken är en mätbar grupp en speciell typ av grupp i skärningspunkten mellan gruppteori och måttteori . Mätbara grupper används för att studera mått är en abstrakt miljö och är ofta nära besläktade med topologiska grupper .

Definition

Låt $(G,\circ )$ en grupp med grupplag

$\circ :G\times G\to G$ .

Låt ytterligare ${\mathcal {G}}$ vara en σ-algebra av delmängder av mängden $G$ .

Gruppen, eller mer formellt trippeln $(G,\circ ,{\mathcal {G}})$ kallas en mätbar grupp om

• inversionen $g\mapsto g^{-1}$ är mätbar från ${\mathcal {G}}$ till ${\mathcal {G}}$ .
• grupplagen $(g_{1},g_{2})\mapsto g_{1}\circ g_{2}$ är mätbar från ${ \displaystyle {\mathcal {G}}\otimes {\mathcal {G}}}$ till ${\mathcal {G}}$

Här betecknar ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ bildningen av produkten σ-algebra av σ-algebran ${\mathcal {A}}$ och ${\mathcal {B}}$ .

Topologiska grupper som mätbara grupper

Varje sekundräknebar topologisk grupp $(G,{\mathcal {O}})$ kan tas som en mätbar grupp. Detta görs genom att utrusta gruppen med Borel σ-algebra

${\mathcal {B}}(G)=\sigma ({\mathcal {O}})$ ,

vilket är σ-algebra som genereras av topologin . Eftersom grupplagen och bildandet av det inversa elementet per definition av en topologisk grupp är kontinuerlig, är båda operationerna i detta fall även mätbara från ${\mathcal {B}}(G)$ till ${\mathcal {B}}(G)$ och från ${\mathcal {B}}(G\times G)$ till ${\mathcal {B}}(G)$ , respektive. Den andra räknebarheten säkerställer att ${\mathcal {B}}(G)\otimes {\mathcal {B}}(G)={\mathcal { B}}(G\ gånger G)$ , och därför är gruppen $G$ också en mätbar grupp.

Relaterade begrepp

Mätbara grupper kan ses som mätbara agerande grupper som agerar på sig själva.