Starkt mått noll inställt

I matematisk analys är en stark nollmängd en delmängd A av den reella linjen med följande egenskap:

för varje sekvens (ε _n ) av positiva realer finns det en sekvens ( I _n ) av intervall så att | I _n | < ε _n för alla n och A ingår i föreningen av I _n .

(Här betecknar | I _n | längden på intervallet I _n .)

Varje uppräkningsbar uppsättning är en stark nolluppsättning, och så är varje förening av ett antal starka nolluppsättningar. Varje starkt mått noll har Lebesgue-mått 0. Cantor-setet är ett exempel på en oräknelig uppsättning av Lebesgue-mått 0 som inte har starkt mått noll.

Borels gissning säger att varje starkt mått nolluppsättning kan räknas. Det är nu känt att detta påstående är oberoende av ZFC (mängdlärans Zermelo–Fraenkel-axiom, vilket är det standardaxiomsystem som antas i matematik). Detta innebär att Borels gissning varken kan bevisas eller motbevisas i ZFC (förutsatt att ZFC är konsekvent ). Sierpiński bevisade 1928 att kontinuumhypotesen (som nu också är känd för att vara oberoende av ZFC) antyder existensen av oräkneliga starka nollsatser. 1976 Laver en tvångsmetod för att konstruera en modell av ZFC där Borels gissningar gäller. Dessa två resultat bekräftar tillsammans Borels gissningars oberoende.

Följande karakterisering av starka mätnolluppsättningar bevisades 1973:

En mängd A ⊆ R har starkt mått noll om och endast om A + M ≠ R för varje mager mängd M ⊆ R .

Detta resultat etablerar en koppling till begreppet starkt magert uppsättning , definierat enligt följande:

En mängd M ⊆ R är starkt mager om och bara om A + M ≠ R för varje mängd A ⊆ R i Lebesgue mått noll.

Den dubbla Borel-förmodan säger att varje mycket magert set är räknebart. Detta uttalande är också oberoende av ZFC.