Stanleys reciprocitetssats

Inom kombinatorisk matematik anger Stanleys reciprocitetssats , uppkallad efter MIT -matematikern Richard P. Stanley , att en viss funktionell ekvation tillfredsställs av den genererande funktionen för vilken rationell kon som helst (definierad nedan) och den genererande funktionen av konens inre.

Definitioner

En rationell kon är uppsättningen av alla d - tuplar

( a ₁ , ..., a _d )

av icke-negativa heltal som uppfyller ett system av ojämlikheter

$M\left[{\begin{matrix}a_{1}\\\vdots \\a_{d}\end{matrix}}\right]\geq \left[{\begin{matrix}0\\\vdots \\0\end{matrix}}\right]$

där M är en matris av heltal. En d -tuppel som uppfyller motsvarande strikta ojämlikheter, dvs med ">" snarare än "≥", finns i könens inre .

Den genererande funktionen hos en sådan kon är

$F(x_{1},\dots,x_{d})=\summa _{(a_{1},\dots,a_{d})\in {\rm {kon}}}x_{1 }^{a_{1}}\cdots x_{d}^{a_{d}}.$

Den genererande funktionen F _int ( x ₁ , ..., x _d ) av det inre av könen definieras på samma sätt, men man summerar över d -tupler i det inre snarare än i hela könen.

Det kan visas att detta är rationella funktioner .

Formulering

Stanleys reciprocitetssats säger att för en rationell kon enligt ovan har vi

$F(1/x_{1},\dots ,1/x_{d})=(-1)^{d}F_{\rm {int}}(x_{1},\dots ,x_{ d}).$

Matthias Beck och Mike Develin har visat hur man kan bevisa detta genom att använda restkalkylen . Develin har sagt att detta innebär att bevisa resultatet "utan att göra något arbete".

Stanleys ömsesidighetsteorem generaliserar Ehrhart-Macdonalds ömsesidighet för Ehrhartpolynom av rationella konvexa polytoper .

Se även

• Ehrhart polynom

• Stanley, Richard P. (1974). "Kombinatoriska reciprocitetssatser" (PDF) . Framsteg i matematik . 14 (2): 194–253. doi : 10.1016/0001-8708(74)90030-9 .
• Beck, M.; Develin, M. (2004). "Om Stanleys reciprocitetssats för rationella kottar". arXiv : math.CO/0409562 .