Standardkomplex

"Standardupplösning" omdirigerar hit. För storleken på tv-skärmen, se TV i standardupplösning .

Inom matematiken är standardkomplexet , även kallat standardupplösning , stapelupplösning , streckkomplex , stapelkonstruktion , ett sätt att konstruera upplösningar i homologisk algebra . Det introducerades först för specialfallet med algebror över en kommutativ ring av Samuel Eilenberg och Saunders Mac Lane ( 1953 ) och Henri Cartan och Eilenberg ( 1956 , IX.6) och har sedan dess generaliserats på många sätt.

Namnet "barkomplex" kommer från det faktum att Eilenberg & Mac Lane (1953) använde en vertikal stapel | som en förkortad form av tensorprodukten $\otimes$ i deras notation för komplexet.

Definition

Om A är en associativ algebra över ett fält K är standardkomplexet

$\cdots \rightarrow A\otimes A\otimes A\rightarrow A\otimes A\rightarrow A\rightarrow 0\,,$

med differentialen som ges av

$d(a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{n+1})=\summa _{i=0}^{n}(-1)^{i}a_{0}\otimes \ cdots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n+1}\,.$

Om A är en enhetlig K -algebra är standardkomplexet exakt. Dessutom $[\cdots \rightarrow A\otimes A\otimes A\rightarrow A\otimes A]$ en fri A -bimodulupplösning för A -bimodulen A .

Normaliserat standardkomplex

Det normaliserade (eller reducerade) standardkomplexet ersätter $A\otimes A\otimes \cdots \otimes A\otimes A$ med $A\otimes (A/K)\otimes \cdots \otimes (A/K)\otimes A$ .

Se även

• Koszul komplex

•    Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1956), Homologisk algebra , Princeton Mathematical Series, vol. 19, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04991-5 , MR 0077480
•     Eilenberg, Samuel ; Mac Lane, Saunders (1953), "On the groups of $H(\Pi ,n)$ . I", Annals of Mathematics , Second Series, 58 : 55–106, doi : 10.2307 /1969820 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969820 , MR 0056295
• Ginzburg, Victor (2005). "Föreläsningar om icke-kommutativ geometri". arXiv : math.AG/0506603 .