Standardiserat medelvärde av en kontrastvariabel

I statistik är det standardiserade medelvärdet av en kontrastvariabel (SMCV eller SMC) , en parameter som bedömer effektstorleken . SMCV definieras som medelvärde dividerat med standardavvikelsen för en kontrastvariabel . SMCV föreslogs först för enkelriktade ANOVA- fall och utvidgades sedan till multi-faktor ANOVA- fall.

Bakgrund

Konsekventa tolkningar av styrkan i gruppjämförelser, som representerade av en kontrast, är viktiga.

När det bara finns två grupper inblandade i en jämförelse är SMCV detsamma som den strikt standardiserade medelskillnaden ( SSMD). SSMD tillhör en populär typ av effektstorleksmått som kallas "standardiserade medelskillnader" som inkluderar Cohens $d$ och Glass $\delta .$

I ANOVA är en liknande parameter för att mäta styrkan av gruppjämförelse standardiserad effektstorlek (SES). Ett problem med SES är att dess värden är ojämförliga för kontraster med olika koefficienter. SMCV har inte ett sådant problem.

Begrepp

Antag att de slumpmässiga värdena i t grupper representerade av slumpvariablerna $G_{1},G_{2},\ldots ,G_{t}$ har medelvärden $\mu _{1},\mu _{2},\ldots ,\mu _{t}$ och varianser $\ sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2},\ldots ,\sigma _{t}^{2}$ respektive. En kontrastvariabel $V$ definieras av

$V=\sum _{i=1}^{t}c_{i}G_{i},$

där $c_{i}$ är en uppsättning koefficienter som representerar en jämförelse av intresse och uppfyller $\sum _{i=1}^{t}c_ {i}=0$ . SMCV för kontrastvariabel $V$ , betecknad med $\lambda$ , definieras som

$\lambda ={\frac {\operatörsnamn {E} (V)}{\operatörsnamn {stdev} (V )}}={\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}\mu _{i}}{\sqrt {{\text{Var}}\left(\summa _{i =1}^{t}c_{i}G_{i}\right)}}}={\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}\mu _{i}}{ \sqrt {\sum _{i=1}^{t}c_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+2\summa _{i=1}^{t}\summa _ {j=i}c_{i}c_{j}\sigma _{ij}}}}$

där $\sigma _{ij}$ är kovariansen av $G_{i}$ och $G_{j}$ . När $G_{1},G_{2},\ldots ,G_{t}$ är oberoende,

$\lambda ={\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}\mu _{i}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{t}c_ {i}^{2}\sigma _{i}^{2}}}}.$

Klassificeringsregel för styrkan i gruppjämförelser

Populationsvärdet (betecknat med $\lambda$ ) för SMCV kan användas för att klassificera styrkan av en jämförelse representerad av en kontrastvariabel , som visas i följande tabell. Denna klassificeringsregel har en probabilistisk grund på grund av kopplingen mellan SMCV och c ⁺ -sannolikhet .

Effekttyp	Effekt undertyp	Tröskelvärden för negativ SMCV	Tröskelvärden för positiv SMCV
Extra stor	Extremt stark	$\lambda \leq -5$	$\lambda \geq 5$
	Väldigt stark	$-5<\lambda \leq -3$	$5>\lambda \geq 3$
	Stark	$-3<\lambda \leq -2$	$3>\lambda \geq 2$
	Ganska stark	$-2<\lambda \leq -1,645$	$2>\lambda \geq 1.645$
Stor	Måttlig	$-1,645<\lambda \leq -1,28$	$1,645>\lambda \geq 1,28$
	Ganska måttlig	$-1,28<\lambda \leq -1$	$1.28>\lambda \geq 1$
Medium	Ganska svag	$-1<\lambda \leq -0,75$	$1>\lambda \geq 0,75$
	Svag	$-0,75<\lambda <-0,5$	$0,75>\lambda >0,5$
	Väldigt svag	$-0,5\leq \lambda <-0,25$	$0,5\geq \lambda >0,25$
Små	Extremt svag	$-0,25\leq \lambda <0$	$0,25\geq \lambda >0$
	Ingen effekt	$\lambda =0$

Statistisk uppskattning och slutledning

Uppskattningen och slutsatsen av SMCV som presenteras nedan är för enfaktorsexperiment. Uppskattning och slutledning av SMCV för multifaktorexperiment har också diskuterats.

Uppskattningen av SMCV bygger på hur prover erhålls i en studie. När grupperna är korrelerade är det vanligtvis svårt att uppskatta kovariansen mellan grupper. I ett sådant fall är en bra strategi att erhålla matchade eller parade prover (eller försökspersoner) och att utföra kontrastanalys baserat på de matchade proverna. Ett enkelt exempel på matchad kontrastanalys är analysen av parad skillnad mellan läkemedelseffekter efter och före intag av ett läkemedel på samma patienter. Däremot är en annan strategi att inte matcha eller para ihop proverna och att utföra kontrastanalys baserat på de oparade eller oparade proverna. Ett enkelt exempel på oöverträffad kontrastanalys är jämförelsen av effektivitet mellan ett nytt läkemedel som tagits av vissa patienter och ett standardläkemedel som tas av andra patienter. Uppskattningsmetoder för SMCV och c ⁺ -sannolikhet i matchad kontrastanalys kan skilja sig från de som används i omatchad kontrastanalys.

Omatchade prover

Betrakta ett oberoende urval av storlek $n_{i}$ ,

$Y_{i}=\left(Y_{i1},Y_{i2},\ldots ,Y_{in_{i}} \höger)$

från den ${\displaystyle i^{\text{th}}(i=1,2,\ldots ,t)}-$ gruppen $G_{i}$ . $Y_{i}$ är oberoende. Låt ${\bar {Y}}_{i}={\frac {1}{n_{i}}}\summa _{j =1}^{n_{i}}Y_{ij}$ ,

$s_{i}^{2}={\frac {1}{n_{i}- 1}}\summa _{j=1}^{n_{i}}\left(Y_{ij}-{\bar {Y}}_{i}\right)^{2},$

$N=\sum _{i=1}^{t}n_{i}$

och

${\text{MSE }}={\frac {1}{Nt}}\sum _{i=1}^{t}\left(n_{i}-1\right)s_{i}^ {2}.$

När $t$ -grupperna har ojämn varians, är maximal sannolikhetsuppskattning (MLE) och metod-of-moment-uppskattning (MM) för SMCV ( ${\displaystyle \lambda } )$ respektive

${\hat {\lambda }}_{\text{MLE }} ={\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}{\bar {Y}}_{i}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{t}{ \frac {n_{i}-1}{n_{i}}}c_{i}^{2}s_{i}^{2}}}}$

och

${\hat {\lambda }}_{\text{MM}}={\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}{\bar {Y}}_{i }}{\sqrt {\sum _{i=1}^{t}c_{i}^{2}s_{i}^{2}}}}.$

När $t$ -grupperna har lika stor varians, under normalitetsantagande, är den enhetligt minimala variansen opartiska skattningen (UMVUE) av SMCV ( λ $\displaystyle \lambda } )$

${\hat {\lambda }}_{\text{UMVUE}}={\sqrt {\frac {K}{Nt}}}{\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}{\bar {Y}}_{i}}{\sqrt {\sum _ {i=1}^{t}{\text{MSE }}c_{i}^{2}}}}$

där $K={\frac {2\left(\Gamma \left({\frac {Nt} {2}}\right)\right)^{2}}{\left(\Gamma \left({\frac {Nt-1}{2}}\right)\right)^{2}}}$ .

Konfidensintervallet för SMCV kan göras med hjälp av följande icke-centrala t-distribution :

$T={\frac {\sum _{i= 1}^{t}c_{i}{\bar {Y}}_{i}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{t}{\text{MSE }}c_{i}^ {2}/n_{i}}}}\sim {\text{ickecentral }}t(Nt,b\lambda )$

där $b={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{t}c_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{t}c_{i} ^{2}/n_{i}}}}.$

Matchade prover

I matchad kontrastanalys, antag att det finns $n$ oberoende sampel $\left(Y_{1j},Y_{2j},\cdots ,Y_{tj}\right)$ från $t$ -grupper ( $G_{i}$ s), där $i=1,2,\cdots ,t;j=1,2,\cdots ,n$ . Sedan det ${\displaystyle j^{\text{th}}}-$ värdet för en kontrast $V=\summa _{i=1}^{t} c_{i}G_{i}$ är $v_{j}=\summa _{i=1}^{t}c_{i}Y_{i}$ .

Låt ${\bar {V}}$ och $s_{V}^{2}$ vara sampelmedelvärdet och sampelvariansen för kontrastvariabeln $V$ . Under normalitetsantaganden UMVUE- uppskattningen av SMCV

${\hat {\lambda }}_{\text{UMVUE}}={\sqrt {\frac {K}{n-1}}}{\ frac {\bar {V}}{s_{V}}}$

där $K={\frac {2\left(\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)\right)^{2}}{\left(\Gamma \left( {\frac {n-2}{2}}\right)\right)^{2}}}.$

Ett konfidensintervall för SMCV kan göras med hjälp av följande icke-centrala t-distribution :

$T={\frac {\bar {V}}{s_{V}/{\sqrt {n}}}}\sim {\text{noncentral }}t\left(n-1,{\sqrt {n}}\lambda \right).$

Se även

• Handling med dubbla ficklampor