Stabil grupp

För stabila grupper i finita gruppteori, se p-stabil grupp . För stabila grupper i homotopi-teori, se stabil homotopigrupp och direkt gräns för grupper .

I modellteori är en stabil grupp en grupp som är stabil i betydelsen stabilitetsteori . En viktig klass av exempel tillhandahålls av grupper av ändlig Morley rang (se nedan).

Exempel

• En grupp med finit Morley-rang är en abstrakt grupp G så att formeln x = x har finit Morley-rang för modellen G . Det följer av definitionen att teorin om en grupp av ändlig Morley rang är ω-stabil ; därför är grupper av finit Morley-rang stabila grupper. Grupper av ändlig Morley-rang beter sig på vissa sätt som ändliga dimensionella objekt. De slående likheterna mellan grupper av finita Morley-rang och finita grupper är föremål för aktiv forskning.
• Alla finita grupper har finit Morley-rankning, faktiskt rang 0.
• Algebraiska grupper över algebraiskt stängda fält har finit Morley-rang, lika med deras dimension som algebraiska mängder .
• Sela (2006) visade att fria grupper , och mer allmänt torsionsfria hyperboliska grupper , är stabila. Gratis grupper på mer än en generator är inte superstabila .

Cherlin-Zilbers gissning

Cherlin -Zilber-förmodan (även kallad algebraicitetsförmodan ), på grund av Gregory Cherlin (1979) och Boris Zil'ber (1977) , antyder att oändliga (ω-stabila) enkla grupper är enkla algebraiska grupper över algebraiskt slutna fält . Gissningen skulle ha följt av Zilbers trikotomigissning. Cherlin ställde frågan för alla ω-stabila enkla grupper, men anmärkte att även fallet med grupper av ändlig Morley rang verkade svårt.

Framsteg mot denna gissning har följt Boroviks program för att överföra metoder som används för klassificering av ändliga enkla grupper . En möjlig källa till motexempel är dåliga grupper : olösliga sammankopplade grupper av ändlig Morley-rang vars alla korrekt kopplade definierbara undergrupper är nilpotenta . (En grupp kallas kopplad om den inte har några definierbara undergrupper av finita index förutom sig själv.)

Ett antal specialfall av denna gissning har bevisats; till exempel:

• Varje ansluten grupp av Morley rang 1 är abelian .
• Cherlin bevisade att en sammankopplad rank 2-grupp är lösbar.
• Cherlin bevisade att en enkel grupp av Morley rang 3 antingen är en dålig grupp eller isomorf till PSL ₂ ( K ) för något algebraiskt stängt fält K som G tolkar.
• Tuna Altinel, Alexandre V. Borovik och Gregory Cherlin ( 2008 ) visade att en oändlig grupp av finit Morley-rang antingen är en algebraisk grupp över ett algebraiskt slutet fält med karakteristik 2, eller har finit 2-rang.

•   Altinel, Tonfisk ; Borovik, Alexandre; Cherlin, Gregory (1997), "Groups of mixed type", J. Algebra , 192 (2): 524–571, ​​doi : 10.1006/jabr.1996.6950 , MR 1452677
•    Altinel, Tonfisk; Borovik, Alexandre V.; Cherlin, Gregory (2008), Simple groups of finite Morley rank , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 145, Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090/surv/145 , ISBN 978-0-8218-4305-5 , MR 2400564
• Borovik, AV (1998), "Tame grupper av udda och jämna typer", i Carter, RW; Saxl, J. (red.), Algebraiska grupper och deras representationer , NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Sciences, vol. 517, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, s. 341–366
•    Borovik, AV; Nesin, Ali (1994), Groups of Finite Morley Rank , Oxford Logic Guides, vol. 26, New York: Oxford University Press, ISBN 0-19-853445-0 , MR 1321141
•   Burdges, Jeffrey (2007), "The Bender method in groups of finite Morley rank" (PDF) , J. Algebra , 312 (1): 33–55, doi : 10.1016/j.jalgebra.2005.10.009 , MR 2320445
• Cherlin, G. (1979), "Groups of small Morley rank", Ann. Matematik. Logic , 17 (1–2): 1–28, doi : 10.1016/0003-4843(79)90019-6
• Macpherson, Dugald (2010), "Review of "Simple groups of finite Morley rank" av T. Altinel, AV Borovik och G. Cherlin", Bulletin of the American Mathematical Society , 47 (4): 729–734, doi : 10.1090 /S0273-0979-10-01287-5
• Pillay, Anand (2001) [1994], "Group of finite Morley rank" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•    Poizat, Bruno (2001), Stabila grupper , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 87, Providence, RI: American Mathematical Society, s. xiv+129, doi : 10.1090/surv/087 , ISBN 0-8218-2685-9 , MR 1827833 (Översatt från 1987 års franska original.)
• Scanlon, Thomas (2002), "Review of "Stable groups" ", Bull . Amer. Matematik. Soc. , 39 (4): 573–579, doi : 10.1090/S0273-0979-02-00953-9
• Sela, Zlil (2006), Diophantine Geometry over Groups VIII: Stability , arXiv : math/0609096 , Bibcode : 2006math......9096S
•   Wagner, Frank Olaf (1997), Stallgrupper , Cambridge University Press, ISBN 0-521-59839-7
•   Zil'ber, BI (1977), "Группы и кольца, теория которых категорична (Grupper och ringar vars teori är kategorisk)", Fundam . Matematik. , 95 : 173-188, MR 0441720