Spridning av en matris

Inom matematik , och mer specifikt matristeori , är spridningen av en matris det största avståndet i det komplexa planet mellan två av matrisens egenvärden .

Definition

Låt $A$ vara en kvadratisk matris med egenvärden $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ . Det vill säga, dessa värden $\lambda _{i}$ är de komplexa talen så att det finns en vektor $v_{i}$ på vilken $A$ verkar genom skalär multiplikation :

$Av_{i}=\lambda _{i}v_{i}.$

Då är spridningen av $A$ det icke-negativa talet

$s(A)=\max\{|\lambda _{i}-\lambda _{j}|:i,j=1,\ldots n\}.$

Exempel

• För nollmatrisen och identitetsmatrisen är spridningen noll. Nollmatrisen har bara noll som egenvärden och identitetsmatrisen har bara ett som egenvärden. I båda fallen är alla egenvärden lika, så inga två egenvärden kan vara på ett avstånd som inte är noll från varandra.
• För en projektion är de enda egenvärdena noll och ett. En projektionsmatris har därför en spridning som är antingen $0$ (om alla egenvärden är lika) eller $1$ (om det finns två olika egenvärden).
• Alla egenvärden för en enhetsmatris $A$ ligger på enhetscirkeln . Därför är spridningen i det här fallet högst lika med cirkelns diameter , siffran 2.
• Spridningen av en matris beror endast på matrisens spektrum (dess multiset av egenvärden). Om en andra matris $B$ av samma storlek är inverterbar , då har $BAB^{-1}$ samma spektrum som $A$ . Därför har den också samma spridning som $A$ .

Se även

• Värdefält

•   Marvin Marcus och Henryk Minc, A survey of matrix theory and matrix inequalities , Dover Publications , 1992, ISBN 0-486-67102-X . Kap.III.4.