Smidig infinitesimal analys

Smidig infinitesimal analys är en modern omformulering av kalkylen i termer av infinitesimaler . Baserat på idéerna från FW Lawvere och användande av kategoriteorins metoder , ser den alla funktioner som kontinuerliga och oförmögna att uttryckas i termer av diskreta enheter. Som en teori är det en delmängd av syntetisk differentialgeometri .

De nilkvadrat eller nilpotenta infinitesimalerna är tal ε där ε ² = 0 är sant, men ε = 0 behöver inte vara sant samtidigt.

Översikt

Detta tillvägagångssätt avviker från den klassiska logiken som används i konventionell matematik genom att förneka lagen för den uteslutna mitten, t.ex. INTE ( a ≠ b ) innebär inte a = b . I synnerhet, i en teori om smidig infinitesimal analys kan man bevisa för alla infinitesimaler ε , NOT ( ε ≠ 0); ändå är det bevisligen falskt att alla infinitesimals är lika med noll. Man kan se att lagen om utesluten mitt inte kan hållas från följande grundläggande teorem (återigen, förstås i sammanhanget av en teori om smidig infinitesimal analys):

Varje funktion vars domän är R , de reella talen , är kontinuerlig och oändligt differentierbar .

Trots detta faktum skulle man kunna försöka definiera en diskontinuerlig funktion f ( x ) genom att specificera att f ( x ) = 1 för x = 0 och f ( x ) = 0 för x ≠ 0. Om lagen för den uteslutna mitten gällde , då skulle detta vara en helt definierad, diskontinuerlig funktion. Det finns dock gott om x , nämligen infinitesimalerna, så att varken x = 0 eller x ≠ 0 stämmer, så funktionen är inte definierad på de reella talen.

I typiska modeller för smidig infinitesimalanalys är infinitesimalerna inte inverterbara, och därför innehåller teorin inte oändliga tal. Men det finns också modeller som inkluderar inverterbara infinitesimals.

Det finns andra matematiska system som inkluderar infinitesimals, inklusive icke-standardiserad analys och surrealistiska tal . Smidig infinitesimal analys är som icke-standardanalys genom att (1) den är avsedd att fungera som en grund för analys , och (2) de infinitesimala kvantiteterna inte har konkreta storlekar (i motsats till de surrealistiska, där en typisk infinitesimal är 1/ ω , där ω är en von Neumann-ordinal ). Men jämn infinitesimal analys skiljer sig från icke-standardanalys i sin användning av icke-klassisk logik och i att sakna överföringsprincipen . Vissa satser för standard- och icke-standardanalys är falska i smidig infinitesimal analys, inklusive mellanvärdessatsen och Banach -Tarski-paradoxen . Påståenden i icke-standardiserad analys kan översättas till påståenden om gränser , men detsamma gäller inte alltid i smidig infinitesimal analys.

Intuitivt kan smidig infinitesimal analys tolkas som att den beskriver en värld där linjer är gjorda av oändligt små segment, inte av punkter. Dessa segment kan tänkas vara tillräckligt långa för att ha en bestämd riktning, men inte tillräckligt långa för att vara krökta. Konstruktionen av diskontinuerliga funktioner misslyckas eftersom en funktion identifieras med en kurva, och kurvan inte kan konstrueras punktvis. Vi kan föreställa oss att mellanvärdessatsen misslyckades som ett resultat av förmågan hos ett infinitesimalt segment att gränsa en linje. På samma sätt misslyckas Banach-Tarski-paradoxen eftersom en volym inte kan tas isär i punkter.

Se även

• Kategoriteori
• Icke-standardiserad analys
• Syntetisk differentialgeometri
• Dubbla nummer

Vidare läsning

• John Lane Bell , Invitation to Smooth Infinitesimal Analysis (PDF-fil)
• Ieke Moerdijk och Reyes, GE, Models for Smooth Infinitesimal Analysis , Springer-Verlag, 1991.

externa länkar

• Michael O'Connor, en introduktion till smidig infinitesimal analys