Släktfält

I algebraisk talteori är släktfältet Γ(K) för ett algebraiskt talfält K den maximala abelska förlängningen av K som erhålls genom att komponera ett absolut abeliskt fält med K och som är oframifierat vid alla finita primtal av K . Släkttalet för K är graden [ Γ(K) : K ] och släktgruppen är Galois - gruppen av Γ(K) över K .

Om K i sig är absolut abelskt, kan släktfältet beskrivas som den maximala absolut abelska förlängningen av K unramified vid alla finita primtal: denna definition användes av Leopoldt och Hasse.

Om K = Q ( √ m ) ( m kvadratfri) är ett kvadratiskt fält av diskriminant D , är genusfältet för K en sammansättning av kvadratiska fält. Låt p _i köra över primfaktorerna för D . För varje sådant primtal p , definiera p ^∗ enligt följande:

$p^{*}=\pm p\equiv 1{\pmod {4}}{\text{ om }}p{\text{ är udda}};$

$2^{*}=-4,8,-8{\text{ enligt }}m\equiv 3{\pmod {4}},2{\pmod {8}},-2{\pmod {8}}.$

$K({\sqrt {p_{i}^{*}}}).$ är släktfältet det sammansatta

Se även

• Hilbert klassfält

•    Ishida, Makoto (1976). Släktfälten för algebraiska talfält . Föreläsningsanteckningar i matematik. Vol. 555. Springer-Verlag . ISBN 3-540-08000-7 . Zbl 0353.12001 .
•    Janusz, Gerald (1973). Algebraiska nummerfält . Ren och tillämpad matematik. Vol. 55. Akademisk press. ISBN 0-12-380250-4 . Zbl 0307.12001 .
•     Lemmermeyer, Franz (2000). Ömsesidighetslagar. Från Euler till Eisenstein . Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag . ISBN 3-540-66957-4 . MR 1761696 . Zbl 0949.11002 .