Skev lutning

Inom matematik är en snedgradient av en harmonisk funktion över en enkelt sammankopplad domän med två reella dimensioner ett vektorfält som överallt är ortogonalt mot funktionens gradient och som har samma storlek som gradienten.

Definition

Skevningsgradienten kan definieras med hjälp av komplex analys och Cauchy–Riemanns ekvationer .

Låt ${\displaystyle f(z(x,y))=u(x,y)+iv(x,y )} vara en analytisk funktion$ med komplexa värden, där u , v är skalära funktioner med reellt värde för de reella variablerna x , y .

En snedgradient definieras som:

$\nabla ^{\perp }u(x,y)=\nabla v(x,y)$

och från Cauchy–Riemann-ekvationerna härleds det att

$\nabla ^{\perp }u(x,y)=(-{\frac {\partial u}{\ partiell y}},{\frac {\partial u}{\partial x}})$

Egenskaper

Skevningsgradienten har två intressanta egenskaper. Den är överallt ortogonal mot gradienten för u och har samma längd:

$\nabla u(x,y)\cdot \nabla ^{\perp }u( x,y)=0,\rVert \nabla u\rVert =\rVert \nabla ^{\perp }u\rVert$

• Peter Olver , Introduktion till partiella differentialekvationer, kap. 7, sid. 232