Shimura korrespondens

I talteorin är Shimura -överensstämmelsen en överensstämmelse mellan modulära former F med halv integralvikt k +1/2, och modulära former f med jämn vikt 2 k , upptäckt av Goro Shimura ( 1973 ). Den har egenskapen att egenvärdet för en Hecke-operator T _{n ²} på F är lika med egenvärdet för T _n på f .

Låt $f$ vara en holomorf spetsform med vikt $(2k+1)/2$ och tecknet $\chi$ . För alla primtal p , låt

$\sum _{n= 1}^{\infty }\Lambda (n)n^{-s}=\prod _{p}(1-\omega _{p}p^{-s}+(\chi _{p})^ {2}p^{2k-1-2s})^{-1}\ ,$

där $\omega _{p}$ s är egenvärdena för Hecke-operatorerna $T(p^{2})$ bestämt av p .

av den funktionella ekvationen för L-funktion visade Shimura det

$F(z)=\summa _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)q^{n}$

är en holomorf modulär funktion med vikten 2k och tecknet $\chi ^{2}$ .

Shimuras bevis använder Rankin-Selberg-faltningen av $f(z)$ med thetaserien ${\displaystyle \theta _{\psi }(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\psi (n)n^{\ nu }e^{2i\pi n^{2}z}\ ({\scriptstyle \nu ={\frac {1-\psi (-1)}{2}}})} för olika Dirichlet-tecken$ ψ $\ displaystyle \psi }$ tillämpar sedan Weils omvända sats .

Se även

• Theta korrespondens

• Bump, D. (2001) [1994], "Shimura correspondence" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•    Shimura, Goro (1973), "On modular forms of half integral weight", Annals of Mathematics , Second Series, 97 : 440–481, doi : 10.2307/1970831 , ISSN 0003-486X , JSTOR 3 19701 3MR301 , 268301