Sheppards rättelse

I statistiken är Sheppards korrigeringar ungefärliga korrigeringar till uppskattningar av ögonblick som beräknats från lagrade data. Konceptet är uppkallat efter William Fleetwood Sheppard .

Låt $m_{k}$ vara det uppmätta k : ^te momentet, ${\hat {\mu }}_{k}$ det motsvarande korrigerade momentet, och $c$ bredd på klassintervallet (dvs. fackets bredd). Ingen korrigering är nödvändig för medelvärdet (första ögonblicket ungefär noll). De första uppmätta och korrigerade momenten kring medelvärdet är sedan relaterade enligt följande:

${\begin{aligned}{\hat {\mu }}_{2}&=m_{2}-{\frac {1}{12}}c^{2}\\{\hat {\ mu }}_{3}&=m_{3}\\{\hat {\mu }}_{4}&=m_{4}-{\frac {1}{2}}m_{2}c^ {2}+{\frac {7}{240}}c^{4}.\end{aligned}}$

När data kommer från en normalfördelad population, resulterar binning och användning av mittpunkten av bin som observerat värde i en överskattning av variansen. Det är därför som korrigeringen av variansen är negativ. Anledningen till att den okorrigerade skattningen av variansen är en överskattning är att felet är negativt korrelerat med observationen. För den enhetliga fördelningen är felet okorrelerat med observationen, så en korrigering bör vara + c ² /12, vilket är variansen av själva felet snarare än − c ² /12. Således är Sheppards korrigering partisk till förmån för populationsfördelningar där felet är negativt korrelerat med observationen.

Kumulanterna av summan av den grupperade variabeln och den enhetliga variabeln är summan av kumulanterna . Eftersom udda kumulanter av en enhetlig fördelning är noll; endast till och med ögonblick påverkas.

Den andra och fjärde kumulanten av den enhetliga fördelningen på (−0,5 c , 0,5 c ) är c ^​​2 /12 respektive − c ⁴ /120.

Korrigeringen till moment kan härledas från relationen mellan kumulanter och moment.

• Weisstein, Eric W. "Sheppards rättelse" . MathWorld — En Wolfram webbresurs . Hämtad 2 mars 2014 .
• Weatherburn, CE (1949), En första kurs i matematisk statistik , Cambridge University Press