Serres sats om en halvenkel Lie-algebra

I abstrakt algebra, närmare bestämt teorin om Lie-algebra , säger Serres sats : givet ett (ändligt reducerat) rotsystem $\Phi$ , existerar det en ändlig-dimensionell semisimple Lie-algebra vars rotsystem är det givna $\Phi$ .

Påstående

Satsen säger att: givet ett rotsystem $\Phi$ i ett euklidiskt rum med en inre produkt $(,)$ , ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle =2(\alpha ,\beta )/(\alpha ,\alpha ),\beta ,\alpha \in E} och$ en bas $\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}$ av $\Phi$ , Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ definieras av (1) $3n$ generatorer $e_{i},f_{i},h_{i}$ och (2 ) relationerna

$[h_{i},h_{j}]=0,$

$[e_{i},f_{i}]=h_{i},\,[e_{i},f_{j}]=0,i\neq j$ ,

$[h_{i},e_{j}]=\langle \alpha _{i },\alpha _{j}\rangle e_{j},\,[h_{i},f_{j}]=-\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle f_{j }$ ,

$\operatorname {ad} (e_{i})^{-\langle \alpha _ {i},\alpha _{j}\rangle +1}(e_{j})=0,i\neq j$ ,

$\operatorname {ad} (f_{i})^{-\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle +1}(f_{j})=0 ,i\neq j$ .

är en ändlig-dimensionell halvenkel Lie-algebra med Cartan-subalgebra genererad av $h_{i}$ och med rotsystemet $\Phi$ .

Den kvadratiska matrisen $[\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle ]_{1\leq i,j\ leq n}$ kallas Cartan-matrisen . Sålunda, med denna uppfattning, anger satsen att, ge en Cartan-matris A , det existerar en unik (upp till en isomorfism) ändlig-dimensionell halvenkel Lie-algebra ${\mathfrak {g}}(A)$ kopplad till $A$ . Konstruktionen av en halvenkel Lie-algebra från en Cartan-matris kan generaliseras genom att försvaga definitionen av en Cartan-matris. Den (i allmänhet oändliga dimensionen) Lie-algebra associerad med en generaliserad Cartan-matris kallas en Kac-Moody-algebra .

Skiss av bevis

Beviset här är hämtat från ( Serre 1966 , Kap VI, Appendix.) och ( Kac 1990 , Theorem 1.2.). Låt $a_{ij}=\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle$ och låt sedan ${\widetilde { \mathfrak {g}}}$ vara Lie-algebra som genereras av (1) generatorerna $e_{i},f_{i},h_{i}$ och (2) relationer:

• $[h_{i},h_{j}]=0$ ,
• $[e_{i},f_{i}]=h_{i}$ , $[e_{i },f_{j}]=0,i\neq j$ ,
• $[h_{i},e_{j}]=a_{ij}e_{j },[h_{i},f_{j}]=-a_{ij}f_{j}$ .

Låt ${\mathfrak {h}}$ vara det fria vektorutrymmet som sträcks av $h_{i}$ , V det fria vektorutrymmet med en bas $v_ {1},\dots ,v_{n}$ och ${\textstyle T=\bigoplus _{l=0}^{\infty }V^{\otimes l}}$ tensorn algebra över det. Betrakta följande representation av en Lie-algebra:

$\pi :{\widetilde {\mathfrak {g}}}\to {\mathfrak {gl}}(T)$

ges av: för $a\in T,h\in {\mathfrak {h}},\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$ ,

• $\pi (f_{i})a=v_{i}\otimes a,$
• $\pi ( h)1=\langle \lambda ,\,h\rangle 1,\pi (h)(v_{j}\otimes a)=-\langle \alpha _{j},h\rangle v_{j}\otimes a+v_{j}\otimes \pi (h)a$ , induktivt,
• $\pi (e_{i})1 =0,\,\pi (e_{i})(v_{j}\otimes a)=\delta _{ij}\alpha _{i}(a)+v_{j}\otimes \pi (e_{ i})a$ , induktivt.

Det är inte trivialt att detta verkligen är en väldefinierad representation och som måste kontrolleras för hand. Från denna representation härleder man följande egenskaper: låt ${\widetilde {\mathfrak {n}}}_{+}$ (resp. ${\widetilde {\mathfrak {n }}}_{-}$ ) subalgebrerna för ${\widetilde {\mathfrak {g}}}$ genererade av ${\displaystyle e_{i}}:$ s (resp. $f_{i}$ s).

• ${\widetilde {\mathfrak {n}}}_{+}$ (resp. ${\widetilde {\mathfrak {n}}}_{-}$ ) är en gratis Lie-algebra genererad av e $\displaystyle e_{i}}$ s (resp. $f_{i}$ s).
• Som ett vektorrum, ${\widetilde {\mathfrak {g}}}={\widetilde {\mathfrak {n}}}_{+}\bigoplus { \mathfrak {h}}\bigoplus {\widetilde {\mathfrak {n}}}_{-}$ .
• ${\widetilde {\mathfrak {n}}}_{+}=\bigoplus _{0\neq \alpha \in Q_{+}}{\ widetilde {\mathfrak {g}}}_{\alpha }$ där ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {g}}}_{\alpha }=\{x\in {\widetilde {\mathfrak {g} }}|[h,x]=\alpha (h)x,h\in {\mathfrak {h}}\}} och på liknande sätt n$ ~ $displaystyle {\widetilde {\mathfrak {n}}}_{-}=\bigoplus _{0\neq \alpha \in Q_{+}}{\widetilde {\mathfrak {g}}}_{-\alpha }}$ .
• (rotutrymmesupplösning) ${\widetilde {\mathfrak {g}}}=\ vänster(\bigoplus _{0\neq \alpha \in Q_{+}}{\widetilde {\mathfrak {g}}}_{-\alpha }\right)\bigoplus {\mathfrak {h}}\bigoplus \ vänster(\bigoplus _{0\neq \alpha \in Q_{+}}{\widetilde {\mathfrak {g}}}_{\alpha }\right)$ .

För varje ideal ${\mathfrak {i}}$ av ${\widetilde {\mathfrak {g}}}$ kan man enkelt visa att ${\mathfrak {i}}$ är homogen med avseende på graderingen som ges av rotutrymmesnedbrytningen; dvs ${\mathfrak {i}}=\bigoplus _{\alpha }({\widetilde {\mathfrak {g}}}_{\alpha }\cap {\mathfrak {i}})$ . Det följer att summan av ideal som skär ${\mathfrak {h}}$ trivialt, den själv skär ${\mathfrak {h}}$ trivialt. Låt ${\mathfrak {r}}$ vara summan av alla ideal som skär ${\mathfrak {h}}$ trivialt. Sedan sker en vektorrymdsupplösning: ${\mathfrak {r}}=({\mathfrak {r}}\cap {\widetilde { \mathfrak {n}}}_{-})\oplus ({\mathfrak {r}}\cap {\widetilde {\mathfrak {n}}}_{+})$ . I själva verket är det en ${\widetilde {\mathfrak {g}}}$ -modulnedbrytning. Låta

${\mathfrak {g}}={\widetilde {\mathfrak {g}}}/{\mathfrak {r}}$ .

Sedan innehåller den en kopia av ${\mathfrak {h}}$ , som identifieras med ${\mathfrak {h}}$ och

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {n}}_{+}\bigoplus {\mathfrak {h}}\bigoplus {\mathfrak {n}}_ {-}$

där ${\mathfrak {n}}_{+}$ (resp. ${\mathfrak {n}}_{-}$ ) är subalgebran som genereras av bilderna av ${ \displaystyle e_{i}}$ s (resp. bilderna av $f_{i}$ s).

Man visar sedan: (1) den härledda algebra $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ här är samma som ${\mathfrak {g }}$ i ledningen, (2) den är ändlig dimensionell och halvenkel och (3) $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]={ \mathfrak {g}}$ .

•   Kac, Victor (1990). Oändligt dimensionella Lie-algebror (3:e upplagan). Cambridge University Press . ISBN 0-521-46693-8 .
•   Humphreys, James E. (1972). Introduktion till lögnalgebror och representationsteori . Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90053-7 .
•   Serre, Jean-Pierre (1966). Algèbres de Lie semi-enkla komplex [ Complex Semisimple Lie Algebras ] . Översatt av Jones, GA Benjamin. ISBN 978-3-540-67827-4 .