Serres kriterium för normalitet

I algebra ger Serres kriterium för normalitet , introducerat av Jean-Pierre Serre , nödvändiga och tillräckliga villkor för att en kommutativ Noethersk ring A ska vara en normal ring . Kriteriet innefattar följande två villkor för A :

• $R_{k}:A_{\mathfrak {p}}$ är en vanlig lokal ring för alla primideal ${\mathfrak {p}}$ med höjd ≤ k .
• $S_{k}:\operatörsnamn {djup} A_{\mathfrak {p}}\geq \inf\{k,\operatörsnamn { ht} ({\mathfrak {p}})\}$ för alla primideal ${\mathfrak {p}}$ .

Uttalandet är:

• A är en reducerad ring $\Leftrightarrow R_{0},S_{1}$ håll.
• A är en normal ring $\Leftrightarrow R_{1},S_{2}$ håll.
• A är en Cohen–Macaulay-ring $\Leftrightarrow S_{k}$ håll för alla k .

Punkterna 1, 3 följer trivialt av definitionerna. Punkt 2 är mycket djupare.

För en integrerad domän beror kriteriet på Krull. Det allmänna fallet beror på Serre.

Bevis

Tillräcklighet

(Efter EGA IV. Sats 5.8.6.)

₀ Antag att A uppfyller S ₂ och R ₁ . Då uppfyller A i synnerhet S1 och R _; därför reduceras den. Om ${\mathfrak {p}}_{i},\,1\leq i\leq r$ är de minimala primidealen för A , då är den totala ringen av bråken K av A är den direkta produkten av restfälten $\kappa ({\mathfrak {p}}_{i})=Q(A/{\mathfrak {p }}_{i})$ : se total ring av bråkdelar av en reducerad ring . Det betyder att vi kan skriva $1=e_{1}+\dots +e_{r}$ där $e_{i}$ är idempotenta i $\kappa ({\mathfrak {p}}_{i})$ och så att $e_{i}e_{j}=0,\,i\ neq j$ . Nu, om A är integrerat stängd i K , då är varje $e_{i}$ integral över A och så är det i A ; följaktligen A en direkt produkt av integrerat slutna domäner Ae _i och vi är klara. Det räcker alltså att visa att A är integrerat sluten i K .

För detta ändamål, antar

$(f/g)^{n}+a_{1}(f/g)^{n-1 }+\dots +a_{n}=0$

där alla f , g , ai är i A och g är dessutom en icke-nolldelare _. Vi vill visa:

$f\in gA$ .

Nu säger villkoret S ₂ att $gA$ är oblandad av höjd ett; dvs varje associerat primtal ${\mathfrak {p}}$ av $A/gA$ har höjd ett. Detta beror på att om ${\mathfrak {p}}$ har en höjd större än ett, så skulle ${\mathfrak {p}}$ innehålla en divisor som inte är noll i $A /gA$ . Men ${\mathfrak {p}}$ är associerad med nollidealet i $A/gA$ så det kan bara innehålla nolldelare, se här . Med villkoret R _{1 är} lokaliseringen $A_{\mathfrak {p}}$ integrerat stängd och så $\phi (f)\in \phi (g)A_{\mathfrak {p}}$ , där $\phi :A\to A_{\mathfrak {p}}$ är lokaliseringskartan, eftersom integralekvationen kvarstår efter lokalisering . Om $gA=\cap _{i}{\mathfrak {q}}_{i}$ är den primära sönderdelningen , då, för varje i , radikalen av ${\mathfrak {q}}_{i}$ är ett associerat primtal ${\mathfrak {p}}$ av $A/gA$ och så $f\in \phi ^{-1}({\mathfrak {q}}_{i}A_{\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}_{ i}$ ; likheten här beror på att ${\mathfrak {q}}_{i}$ är en ${\mathfrak {p}}$ - primärt ideal . Därför håller påståendet.

Nödvändighet

Antag att A är en normal ring . För S ₂ , låt ${\mathfrak {p}}$ vara ett associerat primtal av $A/fA$ för en icke-nolldelare f ; vi måste visa att den har höjd ett. ​​ersätter A med en lokalisering kan vi anta att A är en lokal ring med maximal ideal ${\mathfrak {p}}$ . Per definition finns det ett element g i A så att ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\{x\in A|xg\equiv 0{\text{ mod }}fA\}} och g ∉ f$ A $\ inte \in fA}$ . Sätt y = g / f i den totala ringen av bråk. Om $y{\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}$ så $A[y]$${\mathfrak {p}}$ en trogen -modul och är en ändligt genererad A -modul; följaktligen $y$ integral över A och därmed i A en motsägelse. Därför är $y{\mathfrak {p}}=A$ eller ${\mathfrak {p}}=f/gA$ , vilket innebär ${ \mathfrak {p}}$ har höjd ett ( Krulls huvudidealsats ).

För R ₁ argumenterar vi på samma sätt: låt ${\mathfrak {p}}$ vara ett primideal av höjd ett. Genom att lokalisera ${\mathfrak {p}}$ antar vi att ${\mathfrak {p}}$ är ett maximalt ideal och det liknande argumentet som ovan visar att ${\mathfrak {p} }$ är i själva verket principal. Således A en vanlig lokal ring. $\square$

Anteckningar

•   Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1965). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie" . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 24 . doi : 10.1007/bf02684322 . MR 0199181 .
• H. Matsumura, Kommutativ algebra , 1970.