Sauerbrey ekvation

Sauerbrey- ekvationen utvecklades av tysken Günter Sauerbrey 1959, medan han arbetade med sin doktorsavhandling vid tekniska universitetet i Berlin, Tyskland. Det är en metod för att korrelera förändringar i oscillationsfrekvensen för en piezoelektrisk kristall med massan som avsatts på den. Han utvecklade samtidigt en metod för att mäta den karakteristiska frekvensen och dess förändringar genom att använda kristallen som den frekvensbestämmande komponenten i en oscillatorkrets. Hans metod fortsätter att användas som det primära verktyget i kvartskristallmikrobalans (QCM) för omvandling av frekvens till massa och är giltig i nästan alla tillämpningar.

Ekvationen härleds genom att behandla den avsatta massan som om den vore en förlängning av tjockleken på den underliggande kvartsen. På grund av detta är korrelationen mellan massa och frekvens (som bestäms av Sauerbreys ekvation) till stor del oberoende av elektrodgeometrin. Detta har fördelen av att tillåta massbestämning utan kalibrering, vilket gör uppställningen önskvärd ur kostnads- och tidsinvesteringssynpunkt.

Sauerbrey-ekvationen definieras som:

$\Delta f=-{\frac {2f_{0}^{2}}{A{\sqrt {\rho _{q}\mu _ {q}}}}}\Delta m$

var:

$f_{0}$ – Grundlägets resonansfrekvens (Hz)

$\Delta f$ – normaliserad frekvensändring (Hz)

$\Delta m$ – Massförändring (g)

$A$ – Piezoelektriskt aktiv kristallarea (Area mellan elektroderna, cm ² )

$\rho _{q}$ – Densitet av kvarts ( $\rho _{q}$ = 2,648 g/cm ³ )

$\mu _{q}$ – Skjuvmodul för kvarts för AT-skuren kristall ( $\mu _{q}$ = 2,947x10 ¹¹ g·cm ⁻¹ · s ⁻² )

Den normaliserade frekvensen $\Delta f$ är den nominella frekvensförskjutningen för det läget dividerat med dess modnummer (de flesta mjukvaror matar ut normaliserat frekvensskifte som standard). Eftersom filmen behandlas som en förlängning av tjockleken gäller Sauerbreys ekvation endast för system där följande tre villkor är uppfyllda: den avsatta massan måste vara stel, den avsatta massan måste fördelas jämnt och frekvensändringen Δ $\ displaystyle \Delta f/f}$ < 0,05.

Om förändringen i frekvens är större än 5 %, det vill säga $\Delta f/f$ > 0,05, måste Z-matchningsmetoden användas för att bestämma massaändringen. Formeln för Z-matchningsmetoden är:

${\frac {\Delta m}{A}}\ ={\ frac {N_{q}\rho _{q}}{\pi Zf_{L}}}\tan ^{-1}\left[Z\tan \left(\pi {\frac {f_{U}-f_ {L}}{f_{U}}}\right)\right]$

Ekvation 2 – Z-matchningsmetod

$f_{L}$ – Frekvens för laddad kristall (Hz)

$f_{U}$ – Frekvens för obelastad kristall, dvs. Resonansfrekvens (Hz)

$N_{q}$ – Frekvenskonstant för AT-skuren kvartskristall (1,668x10 ¹³ Hz·Å)

$\Delta m$ – Massförändring (g)

$A$ – Piezoelektriskt aktiv kristallarea (Area mellan elektroderna, cm ² )

$\rho _{q}$ – Densitet av kvarts ( $\rho _{q}$ = 2,648 g/cm ³ )

$Z$ – Z-faktor för filmmaterial $={\sqrt {\left({\frac {\rho _{q}\mu _{q}}{\rho _{f}\mu _{ f}}}\ \right)}}$

$\rho _{f}$ – filmens täthet (varierar: enheterna är g/cm ³ )

$\mu _{q}$ – Skjuvmodul för kvarts ( $\mu _{q}$ = 2,947x10 ¹¹ g·cm ⁻¹ ·s ⁻² )

$\mu _{f}$ – Filmens skjuvmodul ( Varierar: enheter är g·cm ⁻¹ ·s ⁻² )

Begränsningar

Sauerbrey-ekvationen utvecklades för oscillation i luft och gäller endast stela massor fästa vid kristallen. Det har visats att mätningar av kvartskristallmikrobalans kan utföras i vätska, i vilket fall en viskositetsrelaterad minskning av resonansfrekvensen kommer att observeras:

$\Delta f={-\ f_{0}^{3/2}(\eta _{l }\rho _{l}/\pi \rho _{q}\mu _{q}n)^{1/2}}$

där $\rho _{l}$ är vätskans densitet, $\eta _{l}$ är vätskans viskositet och $n$ är lägesnumret .