Santalós formel

I differentialgeometri beskriver Santalós formel hur man integrerar en funktion på enhetssfärbunten av ett Riemann-grenrör genom att först integrera längs varje geodetisk separat och sedan över utrymmet för alla geodesiker. Det är ett standardverktyg inom integralgeometri och har tillämpningar i isoperimetriska och styvhetsresultat. Formeln är uppkallad efter Luis Santaló , som först bevisade resultatet 1952.

Formulering

Låt $(M,\partial M,g)$ vara ett kompakt, orienterat Riemann-grenrör med gräns. Sedan för en funktion ${\displaystyle f:SM\rightarrow \mathbb {C} } ,$ har Santalós formel formen

$\int _{SM}f(x,v)\,d\mu (x,v)=\int _{\partial _{+}SM}\left[ \int _{0}^{\tau (x,v)}f(\varphi _{t}(x,v))\,dt\right]\langle v,\nu (x)\rangle \,d \sigma (x,v),$

var

• $(\varphi _{t})_{t}$ är det geodetiska flödet och $\tau (x,v)=\sup\{t\geq 0:\forall s\in [0,t]:~\varphi _{s}(x,v) \in SM\}$ är utgångstiden för geodetiken med initiala villkor $(x,v)\in SM$ ,
• $\mu$ och $\sigma$ är de Riemannska volymformerna med avseende på Sasaki-metriken på $SM$ respektive $\partial SM$ ( ${\ displaystyle \mu }$ kallas också Liouville-mått ),
• $\nu$ är den inåtriktade enheten normal till $\partial M$ och $\partial _{+}SM:=\{(x,v)\in SM:x\in \partial M,\langle v,\nu (x)\rangle \geq 0 \}$ inflödesgränsen , som bör ses som parametrisering av geodesikens utrymme .

Giltighet

Under antagandena att

1. $M$ är icke-fällande (dvs. $\tau (x,v)<\infty$ för alla $(x, v)\in SM$ ) och
2. $\partial M$ är strikt konvex (dvs den andra grundformen $II_{\partial M}(x)$ är positiv definit för varje $x\in \partial M$ ),

Santalós formel är giltig för alla $f\in C^{\infty }(M)$ . I det här fallet motsvarar det följande åtgärdsidentitet:

$\Phi ^{*}d\mu (x,v,t)= \langle \nu (x),x\rangle d\sigma (x,v)dt,$

där $\{(x,v,t) :(x,v)\in \partial _{+}SM,t\in (0,\tau (x,v))\}}$ och $rightarrow SM}$ definieras av $\Phi (x,v,t)=\varphi _{t}(x,v)$ . Detta innebär särskilt att den geodetiska röntgentransformen $If(x,v)=\int _{0}^{\tau (x,v)}f(\varphi _{t}(x,v))\,dt$ sträcker sig till en avgränsad linjär karta $I:L^{1}(SM,\mu )\högerpil L^{1}(\partial _{+}SM,\sigma _{\nu$ , där $d\sigma _{\nu }(x,v)=\langle v,\nu (x)\rangle \,d\sigma (x,v)$ och därmed finns det följande, $L^{1}$ -version av Santalós formel:

$\int _{SM}f\,d\mu =\int _{\partial _{+}SM}If~d\sigma _{\nu }\quad {\text{för alla }}f\ i L^{1}(SM,\mu).$

Om icke-infångningen eller konvexitetsvillkoret från ovan misslyckas, finns det en uppsättning $E\subset SM$ med positivt mått, så att geodesiken som kommer från $E$ antingen misslyckas med att träffa gränsen för $M$ eller träffa den icke-tvärgående. I det här fallet förblir Santalós formel endast sann för funktioner med stöd som är skilt från denna exceptionella uppsättning $E$ .

Bevis

Följande bevis är hämtat från [, Lemma 3.3], anpassat till den (enklare) inställningen när villkor 1) och 2) från ovan är sanna. Santalós formel följer av följande två ingredienser, och noterar att $\partial _{0}SM=\{(x,v) :\langle \nu (x),v\rangle =0\}$ har mått noll.

• En integreringsformel för det geodetiska vektorfältet $X}$ :

$) {\displaystyle \int _{SM}Xu~d\mu =-\int _{\partial _{+}SM}u~d\sigma _{\nu}\quad {\text{för alla }}u\i C^{\ infty }(SM)} Konstruktionen av ett upplösningsmedel$

$\exists R:C_{c}^{\infty }(SM\smallsetminus \partial _{0}SM) \rightarrow C^{\infty }(SM):XRf=-f{\text{ och }}Rf\vert _{\partial _{+}SM}=Om\quad {\text{för alla }}f\ i C_{c}^{\infty }(SM\smallsetminus \partial _{0}SM)$

• transportekvationen $Xu=-f$ :

För integreringsformeln efter delar, kom ihåg att $X$ lämnar Liouville-måttet $\mu$ invariant och därmed $Xu=\operatörsnamn {div} _{G}(uX)$ , divergensen med avseende på Sasaki-metriska $G$ . Resultatet följer alltså av divergenssatsen och observationen att ${\displaystyle \langle X(x,v), N(x,v)\rangle _{G}=\langle v,\nu (x)\rangle _{g}} , där N {\displaystyle N} är den inåtriktade$ enheten $normal$ till ${ \displaystyle \partial SM}$ . Upplösningsmedlet ges explicit av $Rf(x,v)=\int _{0}^ {\tau (x,v)}f(\varphi _{t}(x,v))\,dt$ och mappningsegenskapen ${ \displaystyle C_{c}^{\infty }(SM\smallsetminus \partial _{0}SM)\rightarrow C^{\infty }(SM)}$ följer av jämnheten hos ${\displaystyle \tau :SM\smallsetminus \partial _{0}SM\högerpil [0,\infty )} ,$ vilket är en konsekvens av antagandet om icke-fällning och konvexitet.

•   Isaac Chavel (1995). "5.2 Santalos formel". Riemannsk geometri: en modern introduktion . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 108. Cambridge University Press. ISBN 0-521-48578-9 .