Sannolikhet för parvis fel

Parvis felsannolikhet är felsannolikheten att för en sänd signal ( $X$ ) kommer dess motsvarande men förvrängda version ( ${\displaystyle {\widehat {X}}})$ att tas emot. Denna typ av sannolikhet kallas ″parvis felsannolikhet″ eftersom sannolikheten existerar med ett par signalvektorer i en signalkonstellation. Det används främst i kommunikationssystem.

Utvidgning av definitionen

I allmänhet är den mottagna signalen en förvrängd version av den sända signalen. Således introducerar vi symbolfelsannolikheten, som är sannolikheten $P(e)$ att demodulatorn kommer att göra en felaktig uppskattning $({\widehat {X}})$ av den överförda symbolen $(X)$ baserat på den mottagna symbolen, som definieras enligt följande:

$P(e)\triangleq {\frac {1}{M}}\summa _{x}\mathbb {P} (X \neq {\widehat {X}}|X)$

där M är storleken på signalkonstellationen.

Den parvisa felsannolikheten $P(X\to {\widehat {X}})$ definieras som sannolikheten att, när $X$ sänds, ${\widehat {X}}$ har tagits emot.

$P(e|X)$ kan uttryckas som sannolikheten att minst en ${\widehat {X}}\neq X$ är närmare än ${\ displaystyle X}$ till $Y$ .

Med hjälp av den övre gränsen för sannolikheten för en förening av händelser kan det skrivas:

$P(e|X)\leq \sum _{{\widehat {X}}\neq X}P(X\to {\widehat {X}})$

Till sist:

$P(e)={\tfrac {1} {M}}\summa _{X\in S}P(e|X)\leq {\tfrac {1}{M}}\summa _{X\in S}\summa _{{\widehat {X} }\neq X}P(X\till {\widehat {X}})$

Sluten form beräkning

För det enkla fallet med den additiv vita gaussiska bruskanalen (AWGN):

$Y=X+Z,Z_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,{\tfrac {N_{0} }{2}}I_{n})\,\!$

PEP kan beräknas i sluten form enligt följande:

${\begin{aligned}P(X\to {\widehat {X}})&=\mathbb {P} (||Y-{\widehat {X}}||^{2}<||YX||^{2}|X)\\&=\mathbb {P} (||(X+Z)-{ \widehat {X}}||^{2}<||(X+Z)-X||^{2})\\&=\mathbb {P} (||(X-{\widehat {X} })+Z||^{2}<||Z||^{2})\\&=\mathbb {P} (||X-{\widehat {X}}||^{2}+| |Z||^{2}+2(Z,X-{\widehat {X}})<||Z||^{2})\\&=\mathbb {P} (2(Z,X- {\widehat {X}})<-||X-{\widehat {X}}||^{2})\\&=\mathbb {P} ((Z,X-{\widehat {X}} )<-||X-{\widehat {X}}||^{2}/2)\end{aligned}}$

$(Z,X-{\widehat {X}})$ är en gaussisk slumpvariabel med medelvärde 0 och varians ${\displaystyle N_{0}||X-{\widehat {X}}||^{2}/$ .

För ett medelvärde på noll, varians $\sigma ^{2}=1$ Gaussisk slumpvariabel:

$P(X>x)=Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{+\infty }e^{-}{\tfrac {t^{2}}{2}}dt$

Därav,

${\begin{aligned}P(X\to {\widehat {X}})&=Q{\bigg (}{\tfrac {\tfrac {||X-{\widehat {X}}||^{2}}{2}}{\sqrt {\tfrac {N_{0}||X-{\widehat { X}}||^{2}}{2}}}}{\bigg )}=Q{\bigg (}{\tfrac {||X-{\widehat {X}}||^{2}} {2}}.{\sqrt {\tfrac {2}{N_{0}||X-{\widehat {X}}||^{2}}}}{\bigg )}\\&=Q{ \bigg (}{\tfrac {||X-{\widehat {X}}||}{\sqrt {2N_{0}}}}{\bigg )}\end{aligned}}$

Se även

• Signalbehandling
• Telekommunikation
• Elektroteknik
• Slumpvariabel

Vidare läsning

•   Prasad, 5:e IEEE internationella symposium om personlig, inomhus- och mobilradiokommunikation (PIMRC '94) Haag, Nederländerna, 18–22 september 1994; ICCC Regional Meeting on Wireless Computer Networks (WCN), Haag, Nederländerna, 21–23 september 1994; redigerad av Jos H. Weber, Jens C. Arnbak och Ramjee (1994). Trådlösa nätverk: fånga den mobila framtiden: förfaranden . Amsterdam: IOS Press. s. 564–575. ISBN 9051991932 . {{ citera bok }} : |first= har ett generiskt namn ( hjälp )
•   Simon, Marvin K.; Alouini, Mohamed-Slim (2005). Digital kommunikation över blekande kanaler (2. utg.). Hoboken: John Wiley & Sons. ISBN 0471715239 .