S-skattare

Målet med S-estimatorer är att ha en enkel regressionsestimator med hög nedbrytning , som delar flexibiliteten och de fina asymptotiska egenskaperna hos M-estimatorer . Namnet "S-estimatorer" valdes då de är baserade på skalestimatorer.

Vi kommer att betrakta skalestimatorer definierade av en funktion ${\displaystyle \rho } ,$ som uppfyller

• R1 – $\rho$ är symmetrisk, kontinuerligt differentierbar och $\rho (0)=0$ .
• R2 – det finns $c>0$ så att $\rho$ strikt ökar på $[c,\infty ]$

För alla prov ${1},...,r_{n}\}}$$) {\displaystyle s (r_{1},...,r_{n})}$ av reella tal, definierar vi skaluppskattningen som lösningen på

${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\rho (r_{i}/s )=K}$ ,

där $K$ är förväntningsvärdet för $\rho$ för en standardnormalfördelning . (Om det finns fler lösningar till ovanstående ekvation, så tar vi den med den minsta lösningen för s; om det inte finns någon lösning sätter vi s ( $\displaystyle s( r_{1},...,r_{n})=0}$ .)

Definition:

Låt $(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$ vara ett urval av regressionsdata med p-dimensionell $x_{i}$ . För varje vektor $\theta$ får vi residualer $s(r_{1}(\theta ),..., r_{n}(\theta ))$ genom att lösa skalekvationen ovan, där $\rho$ uppfyller R1 och R2. S-skattaren ${\hat {\theta }}$ definieras av

${\hat {\theta }}=\min _{\theta }\,s(r_{1} (\theta ),...,r_{n}(\theta ))$

och den slutliga skalestimatorn ${\hat {\sigma }}$ är då

${\hat {\sigma }}=s(r_{1}({\hat {\theta }} ),...,r_{n}({\hat {\theta }}))$ .