Roberts triangelsats

Sju linjer som tangerar en halvcirkel bildar fem triangulära ytor

Roberts triangelsats , ett resultat i diskret geometri , säger att varje enkelt arrangemang av $n$ linjer har minst $n-2$ triangulära ytor. Således bildar tre linjer en triangel, fyra linjer bildar minst två trianglar, fem linjer bildar minst tre trianglar, etc. Den är uppkallad efter Samuel Roberts , en brittisk matematiker som publicerade den 1889.

Uttalande och exempel

Satsen säger att varje enkelt arrangemang av $n$ linjer i det euklidiska planet har minst $n-2$ triangulära ytor. Här är ett arrangemang enkelt när det inte har två parallella linjer och inga tre linjer genom samma punkt.

Ett sätt att bilda ett arrangemang av $n$ linjer med exakt $n-2$ triangulära ytor är att välja de linjer som ska tangera en halvcirkel . För linjer arrangerade på detta sätt är de enda trianglarna de som bildas av tre linjer med på varandra följande tangenspunkter. Eftersom de $n$ -linjerna har $n-2$ på varandra följande trianglar, har de också $n-2$ trianglar.

Bevis

Branko Grünbaum fann beviset i Roberts originalartikel "inte övertygande", och tillskriver Robert W. Shannon det första korrekta beviset för Roberts teorem 1979. Han presenterar istället följande mer elementära argument, först publicerat på ryska av Alexei Belov. Det beror implicit på en enklare version av samma sats, enligt vilken varje enkel arrangemang av tre eller flera linjer har minst en triangulär sida. Detta följer lätt genom induktion av det faktum att att lägga till en linje till ett arrangemang inte kan minska antalet triangulära ytor: om linjen skär en befintlig triangel, är en av de två resulterande delarna återigen en triangel. Å andra sidan, även om gränsen för Roberts teorem ökar med varje tillagd linje, kan antalet trianglar i ett visst arrangemang ibland förbli oförändrat.

Om de $n$ givna linjerna alla flyttas utan att deras lutning ändras, kan deras nya positioner beskrivas med ett system av $n$ reella tal, förskjutningarna för varje linje från dess ursprungliga position. För varje triangulär yta finns det en linjär ekvation på förskjutningarna av dess tre linjer som, om den är uppfylld, får ytan att behålla sin ursprungliga area. Om det kunde finnas färre än $n-2$ trianglar, då (eftersom det skulle finnas fler variabler än ekvationer som begränsar dem) skulle det vara möjligt att fixera två av linjerna på plats och hitta en samtidig linjär rörelse av alla återstående linjer, som håller sina sluttningar fixerade, vilket bevarar alla triangelområdena. En sådan rörelse måste passera genom arrangemang som inte är enkla, till exempel när en av de rörliga linjerna passerar över korsningspunkten för de två fasta linjerna. Vid den tidpunkt då de rörliga linjerna först bildar ett icke-enkelt arrangemang möts tre eller flera linjer vid en punkt. Precis innan dessa linjer möts skulle denna delmängd av linjer ha en triangulär yta (också närvarande i det ursprungliga arrangemanget) vars area närmar sig noll. Men detta motsäger invariansen av ansiktsområdena. Motsägelsen visar att antagandet att det finns färre än $n-2$ trianglar inte kan vara sant.

Relaterade resultat

Fem trianglar löser Kobontriangelproblemet för fem linjer

Medan Roberts sats avser minsta möjliga trianglar gjorda av ett givet antal linjer, rör det relaterade Kobon-triangelproblemet det största möjliga antalet. De två problemen skiljer sig redan för $n=5$ , där Roberts sats garanterar att tre trianglar kommer att finnas, men lösningen på Kobontriangelproblemet har fem trianglar.

Roberts teorem kan generaliseras från enkla linjearrangemang till några icke-enkla arrangemang, till arrangemang i det projektiva planet snarare än i det euklidiska planet, och till arrangemang av hyperplan i högre dimensionella utrymmen. Bortom linjearrangemang gäller samma gräns som Roberts teorem för arrangemang av pseudolines .