Ris formel

I sannolikhetsteorin räknar Rice formel det genomsnittliga antalet gånger en ergodisk stationär process X ( t ) per tidsenhet korsar en fast nivå u . Adler och Taylor beskriver resultatet som "ett av de viktigaste resultaten vid tillämpningar av smidiga stokastiska processer." Formeln används ofta inom teknik.

Historia

Formeln publicerades av Stephen O. Rice 1944, efter att tidigare ha diskuterats i hans anteckning från 1936 med titeln "Singing Transmission Lines".

Formel

Skriv D _u för antalet gånger den ergodiska stationära stokastiska processen x ( t ) tar värdet u i en tidsenhet (dvs. t ∈ [0,1]). Sedan står det i Rices formel

$\mathbb {E} (D_{u})=\int _{-\infty }^{\infty }|x'|p(u,x')\ ,\mathrm {d} x'$

där p ( x , x ') är den gemensamma sannolikhetstätheten för x ( t ) och dess medelkvadratderivata x' ( t ).

Om processen x ( t ) är en gaussisk process och u = 0 så förenklas formeln avsevärt för att ge

$\mathbb {E} (D_{0})={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {-\rho ''(0) }}$

där ρ '' är andraderivatan av den normaliserade autokorrelationen av x ( t ) vid 0.

Används

Rice formel kan användas för att uppskatta en utflyktssannolikhet

$\mathbb {P} \left\{\sup _{t\in [0,1]}X(t)\geq u\right \}$

När det gäller stora värden på u är sannolikheten att det finns en plankorsning ungefär sannolikheten att nå den nivån.