Rest i oändligheten

I komplex analys , en gren av matematiken, är resten vid oändligheten en rest av en holomorf funktion på en ring med en oändlig yttre radie. Oändligheten $\infty$ är en punkt som läggs till det lokala utrymmet $\mathbb {C}$ för att göra det kompakt (i detta fall är det en enpunktskomprimering ) . Detta mellanslag betecknat ${\hat {\mathbb {C} }}$ är isomorft till Riemann-sfären . Man kan använda resten i oändligheten för att beräkna några integraler .

Definition

Givet en holomorf funktion f på en ring $A(0,R,\infty )$ (centrerad vid 0, med inre radie $R$ och oändlig yttre radie), resten vid oändligheten av funktionen f kan definieras i termer av den vanliga resten enligt följande:

$\operatorname {Res} (f,\infty )=-\operatörsnamn {Res} \left({1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right),0\right)$

Således kan man överföra studiet av $f(z)$ i oändligheten till studiet av $f(1/z)$ vid origo.

Observera att $\forall r>R$ , vi har

$\operatorname {Res} (f,\infty )={-1 \over 2\pi i} \int _{C(0,r)}f(z)\,dz$

Motivering

Man kan först gissa att definitionen av resten av f(z) vid oändligheten bara borde vara resten av f(1/z) vid z=0 . Anledningen till att vi istället betraktar -f(1/z)/z ² är att man inte tar rester av funktioner utan av differentialformer , dvs resten av f(z)dz i oändligheten är resten av f( 1/z)d(l/z)=-f(l/z)dz/z2 ^vid z =0 .

Se även

• Riemann sfär
• Algebraisk variation
• Restsats

•   Murray R. Spiegel, Variables complexes , Schaum, ISBN 2-7042-0020-3
• Henri Cartan , Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variabler complexes , Hermann, 1961
•   Mark J. Ablowitz & Athanassios S. Fokas, Complex Variables: Introduction and Applications (andra upplagan), 2003, ISBN 978-0-521-53429-1 , P211-212.