Remez ojämlikhet

Inom matematiken ger Remez -ojämlikheten , upptäckt av den sovjetiske matematikern Evgeny Yakovlevich Remez ( Remez 1936 ), en gräns för sup-normerna för vissa polynom, varvid gränsen uppnås av Chebyshev-polynomen .

Ojämlikheten

Låt σ vara ett godtyckligt fast positivt tal. Definiera klassen av polynom π _n ( σ ) som de polynom p av den n :e graden för vilka

$|p(x)|\leq 1$

på någon uppsättning mått ≥ 2 som ingår i det slutna intervallet [−1, 1+ σ ]. Sedan Remez-ojämlikheten det

$\sup _{p\in \pi _{n}(\sigma )}\vänster\|p\höger\|_{ \infty }=\left\|T_{n}\right\|_{\infty }$

där T _n ( x ) är Chebyshev-polynomet av grad n , och den högsta normen tas över intervallet [−1, 1+ σ ].

Observera att T _n ökar på $[1,+\infty ]$ , därför

$\|T_{n}\|_{\infty }=T_{n}(1+\sigma ).$

Ri, kombinerat med en uppskattning av Chebyshev-polynom, innebär följande följd: Om J ⊂ R är ett ändligt intervall, och E ⊂ J är en godtycklig mätbar mängd, då

$\max _{x\in J}|p(x)|\leq \left({\frac {4\,\,{\textrm {mes}}J}{{\textrm {mes}}E }}\right)^{n}\sup _{x\in E}|p(x)|$

 

 

 

 

()

för vilket polynom som helst p av grad n .

Tillägg: Nazarov–Turán lemma

Ojämlikheter som liknar ( ⁎ ) har bevisats för olika klasser av funktioner och är kända som ojämlikheter av Remez-typ. Ett viktigt exempel är Nazarovs ojämlikhet för exponentiella summor ( Nazarov 1993) :

Nazarovs ojämlikhet . Låt

$p(x)=\summa _{k=1}^{n}a_{k}e^{\lambda _{k} x}$

vara en exponentiell summa (med godtycklig λ _k ∈ C ), och låt J ⊂ R vara ett ändligt intervall, E ⊂ J — en godtycklig mätbar mängd. Då

$\max _{x\in J}|p(x)|\leq e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\mathrm {mes} J}\ vänster({\frac {C\,\,{\textrm {mes}}J}{{\textrm {mes}}E}}\höger)^{n-1}\sup _{x\in E}| p(x)|~,$

där C > 0 är en numerisk konstant.

I det speciella fallet när λ _k är rent imaginärt och heltal, och delmängden E i sig är ett intervall, bevisades ojämlikheten av Pál Turán och är känd som Turáns lemma.

Denna olikhet sträcker sig även till $L^{p}(\mathbb {T} ),\ 0\leq p\leq 2$ på följande sätt

$\|p\|_{L^{p}(\mathbb {T } )}\leq e^{A(n-1){\textrm {mes}}(\mathbb {T} \setminus E)}\|p\|_{L^{p}(E)}$

för vissa A >0 oberoende av p , E och n . När

$\mathrm {mes} E<1-{\frac {\log n}{n}}$

en liknande olikhet gäller för p > 2. För p =∞ finns en utvidgning till flerdimensionella polynom.

Bevis: Tillämpning av Nazarovs lemma på ${\displaystyle E=E_{\lambda }=\{x\,:\ |p(x)|\leq \lambda \},\ \lambda >0} leder$ till

$\max _{x\in J}|p(x)|\leq e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\mathrm {mes} J}\left({\frac {C\,\,{\textrm {mes}}J}{{\textrm {mes}}E_{\lambda }}} \right)^{n-1}\sup _{x\in E_{\lambda }}|p(x)|\leq e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\ ,\mathrm {mes} J}\left({\frac {C\,\,{\textrm {mes}}J}{{\textrm {mes}}E_{\lambda }}}\right)^{n -1}\lambda$

Således

${\textrm {mes}}E_{\lambda }\leq C\,\,{\textrm {mes}}J\left({\frac {\lambda e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\mathrm {mes } J}}{\max _{x\in J}|p(x)|}}\right)^{\frac {1}{n-1}}$

Fixa nu en uppsättning $E$ och välj $\lambda$ så att ${\textrm {mes}}E_{\lambda }\leq {\tfrac { 1}{2}}{\textrm {mes}}E$ , det vill säga

$\lambda =\left({\frac {{\textrm {mes}}E}{2C\mathrm {mes} J}}\right)^{n-1}e^{-\max _{k }|\Re \lambda _{k}|\,\mathrm {mes} J}\max _{x\in J}|p(x)|$

Observera att detta innebär:

1. ${\textrm {mes}}E\setminus E_{\lambda }\geq {\tfrac {1}{2}}{\textrm {mes}}E.$
2. $\forall x\in E\setminus E_{\lambda }:|p(x)|>\lambda .$

Nu

${\begin{aligned}\int _{x\in E}|p(x)|^{p}\,{\mbox{d}}x&\geq \int _{x\ i E\setminus E_{\lambda }}|p(x)|^{p}\,{\mbox{d}}x\\[6pt]&\geq \lambda ^{p}{\frac {1} {2}}{\textrm {mes}}E\\[6pt]&={\frac {1}{2}}{\textrm {mes}}E\left({\frac {{\textrm {mes} }E}{2C\mathrm {mes} J}}\right)^{p(n-1)}e^{-p\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\mathrm {mes} J}\max _{x\in J}|p(x)|^{p}\\[6pt]&\geq {\frac {1}{2}}{\frac {{\textrm { mes}}E}{{\textrm {mes}}J}}\left({\frac {{\textrm {mes}}E}{2C\mathrm {mes} J}}\right)^{p(n -1)}e^{-p\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\mathrm {mes} J}\int _{x\in J}|p(x)|^ {p}\,{\mbox{d}}x,\end{aligned}}$

vilket kompletterar beviset.

Pólya ojämlikhet

En av följderna av Ri är Pólya-ojämlikheten , som bevisades av George Pólya ( Pólya 1928 ), och anger att Lebesgue-måttet på en subnivåmängd av ett polynom p av grad n är begränsat i termer av den ledande koefficienten LC( p ) enligt följande:

${\textrm {mes}}\left\{x\in \mathbb {R} :\left|P(x)\right|\leq a\right\}\leq 4\left({\frac { a}{2\mathrm {LC} (p)}}\right)^{1/n},\quad a>0~.$

• Remez, EJ (1936). "Sur une propriété des polynômes de Tchebyscheff". Comm. Inst. Sci. Kharkow . 13 :93–95.
•   Bojanov, B. (maj 1993). "Elementärt bevis på Remez-ojämlikheten". American Mathematical Monthly . Mathematical Association of America. 100 (5): 483–485. doi : 10.2307/2324304 . JSTOR 2324304 .
• Fontes-Merz, N. (2006). "En flerdimensionell version av Turans lemma" . Journal of Approximation Theory . 140 (1): 27–30. doi : 10.1016/j.jat.2005.11.012 .
• Nazarov, F. (1993). "Lokala uppskattningar för exponentiella polynom och deras tillämpningar på ojämlikheter av typen osäkerhetsprincip". Algebra och Analiz . 5 (4): 3–66.
•   Nazarov, F. (2000). "Fullständig version av Turans Lemma för trigonometriska polynom på enhetens omkrets". Komplex analys, operatörer och relaterade ämnen . 113 : 239-246. doi : 10.1007/978-3-0348-8378-8_20 . ISBN 978-3-0348-9541-5 .
• Pólya, G. (1928). "Beitrag zur Verallgemeinerung des Verzerrungssatzes auf mehrfach zusammenhängende Gebiete". Sitzungsberichte Akad. Berlin : 280–282.