Regulus (geometri)

En strängmodell av en del av en regulus och dess motsats för att visa reglerna för en hyperboloid i ett ark

I tredimensionellt rymd är en regulus R en uppsättning snedställda linjer , vars varje punkt är på en tvärgående linje som skär ett element av R endast en gång, och så att varje punkt på en tvärgående linje ligger på en linje av R

Uppsättningen av transversaler av R bildar en motsatt regulus S . I ℝ ³ är föreningen R∪S den reglerade ytan av en hyperboloid av ett ark .

Tre sneda linjer bestämmer en regulus:

Platsen för linjer som möter tre givna snedställda linjer kallas en regulus . Galluccis teorem visar att linjerna som möter generatorerna av regulus (inklusive de ursprungliga tre linjerna) bildar en annan "associerad" regulus, så att varje generator av endera regulus möter varje generator av den andra. De två regulierna är de två systemen av generatorer av en regerad quadric .

Enligt Charlotte Scott , "Regulus tillhandahåller extremt enkla bevis på egenskaperna hos en konisk ... satserna för Chasles, Brianchon och Pascal ..."

I en finit geometri PG(3, q ) har en regulus q + 1 linjer. Till exempel, 1954 William Edge ett par reguli med fyra rader vardera i PG(3,3).

Robert JT Bell beskrev hur regulus genereras av en rörlig rät linje. Först, hyperboloiden ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2 }}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\ =\ 1$ räknas som

$\left({\frac {x}{a}}+{\frac {z}{c}}\right)\left({\frac {x}{a}}-{\frac {z} {c}}\right)\ =\ \left(1+{\frac {y}{b}}\right)\left(1-{\frac {y}{b}}\right).$

Då uppfyller två linjesystem, parametriserade av λ och μ denna ekvation:

${\frac {x}{a}}+{\frac {z}{c }}\ =\ \lambda \left(1+{\frac {y}{b}}\right),\quad {\frac {x}{a}}-{\frac {z}{c}}\ =\ {\frac {1}{\lambda }}\left(1-{\frac {y}{b}}\right)$ och

${\frac {x}{a}}-{\frac {z}{c}}\ =\ \mu \left(1+{\frac {y}{b}}\right),\quad {\frac {x}{a}}+{\frac {z}{c}}\ =\ {\frac {1}{\mu }}\left(1-{\frac {y}{b}} \höger).$

Ingen medlem av den första uppsättningen rader är medlem i den andra. När λ eller μ varierar genereras hyperboloiden. De två uppsättningarna representerar en regulus och dess motsats. Med hjälp av analytisk geometri bevisar Bell att inga två generatorer i en mängd skär varandra, och att två generatorer i motsatta reguli skär varandra och bildar planet som tangerar hyperboloiden vid den punkten. (sidan 155).

Se även

• Översättningsplan § Reguli och regelbundna uppslag

• H. G. Forder (1950) Geometry , sid 118, Hutchinson's University Library.