Rarita–Schwingers ekvation

I teoretisk fysik är Rarita –Schwinger-ekvationen den relativistiska fältekvationen för spin -3/2 fermioner . Det liknar Dirac-ekvationen för spin-1/2 fermioner. Denna ekvation introducerades först av William Rarita och Julian Schwinger 1941.

I modern notation kan det skrivas som:

$\left(\epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }\gamma _{5}\gamma _ {\kappa }\partial _{\rho }-im\sigma ^{\mu \nu }\right)\psi _{\nu }=0$

där $\epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }$ är Levi-Civita-symbolen , $\gamma _{5}$ och $\gamma _{\nu }$ är Dirac-matriser , $m$ är massan, $\sigma ^{\mu \nu }\equiv {\frac {i}{2}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]$ och $\psi _{\nu }$ är en vektorvärderad spinor med ytterligare komponenter som jämförs till spinorn med fyra komponenter i Dirac-ekvationen. Det motsvarar ( 1 / 2 , 1 / 2 ) ⊗ (( 1 / 2 , 0) ⊕ (0, 1 / 2 )) representationen av Lorentz-gruppen , eller snarare dess (1, 1 / 2 ) ⊕ ( 1/2 , . 1) del

Denna fältekvation kan härledas som Euler-Lagrange-ekvationen som motsvarar Rarita-Schwinger Lagrangian :

${\mathcal {L}}=-{\tfrac {1}{2} }\;{\bar {\psi }}_{\mu}\left(\epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu}\gamma _{5}\gamma _{\kappa}\partial _{\ rho }-im\sigma ^{\mu \nu }\right)\psi _{\nu }$

där stapeln ovanför $\psi _{\mu }$ anger Dirac-adjointen .

Denna ekvation styr utbredningen av vågfunktionen för sammansatta objekt som deltabaryonerna (
Δ
) eller för den förmodade gravitino . Hittills har ingen elementarpartikel med spin 3/2 hittats experimentellt.

Den masslösa Rarita–Schwinger-ekvationen har en fermionisk gaugesymmetri: är invariant under gaugetransformationen $\psi _{\mu }\högerpil \psi _{\mu }+\partial _ {\mu }\epsilon$ , där $\epsilon \equiv \epsilon _{\alpha }$ är ett godtyckligt spinorfält. Detta är helt enkelt den lokala supersymmetrin av supergravitation , och fältet måste vara en gravitino.

"Weyl" och "Majorana" versioner av Rarita–Schwingers ekvation finns också.

Rörelseekvationer i det masslösa fallet

Betrakta ett masslöst Rarita–Schwinger-fält som beskrivs av den lagrangiska densiteten

${\mathcal {L}}_{RS}={\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho },$

där summan över spinnindex är implicit, $\psi _{\mu }$ är Majorana-spinorer, och

$\gamma ^{\mu \nu \rho }\equiv {\frac {1}{3!}}\gamma ^{[\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho ]} .$

För att erhålla rörelseekvationerna varierar vi Lagrangian med avseende på fälten ${\displaystyle \psi _{\mu }} , och$ erhåller:

$\delta {\mathcal {L}}_{RS}=\delta {\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \ rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho }+{\bar {\psi}}_{\mu}\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu}\delta \psi _{\rho }=\delta {\bar {\psi}}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho }-\ partiell _{\nu }{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\delta \psi _{\rho }+{\text{ gränstermer}}$

med Majorana flip-egenskaperna ser vi att den andra och första termen på RHS är lika, vilket drar slutsatsen

$\delta {\mathcal {L}}_{RS}=2\delta {\bar {\psi }}_{\ mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho },$

plus oviktiga gränsvillkor. Genom att lägga på $\delta {\mathcal {L}}_{RS}=0$ ser vi således att rörelseekvationen för en masslös Majorana Rarita–Schwinger-spinor lyder:

$\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho }=0.$

Nackdelar med ekvationen

Den nuvarande beskrivningen av massiva, högre spin-fält genom antingen Rarita–Schwinger- eller Fierz–Pauli-formalismer är drabbad av flera sjukdomar.

Superluminal förökning

Liksom i fallet med Dirac-ekvationen kan elektromagnetisk interaktion läggas till genom att främja den partiella derivatan för att mäta den kovarianta derivatan :

$\mu }=\partial _{\mu }-ieA_{\mu }}$ .

1969 visade Velo och Zwanziger att Rarita-Schwinger Lagrangian kopplad till elektromagnetism leder till ekvation med lösningar som representerar vågfronter, av vilka några utbreder sig snabbare än ljus. Med andra ord lider fältet då av aausal, superluminal utbredning; följaktligen kvantiseringen i interaktion med elektromagnetism väsentligen felaktig . Men i utökad supergravitation har Das och Freedman visat att lokal supersymmetri löser detta problem [ .

Källor

•   Rarita, William; Schwinger, Julian (1941-07-01). "Om en teori om partiklar med halvintegral spin". Fysisk granskning . American Physical Society (APS). 60 (1): 61. Bibcode : 1941PhRv...60...61R . doi : 10.1103/physrev.60.61 . ISSN 0031-899X .
• Collins PDB, Martin AD , Squires EJ, Partikelfysik och kosmologi (1989) Wiley, avsnitt 1.6 .
•   Velo, Giorgio; Zwanziger, Daniel (1969-10-25). "Fortplantning och kvantisering av Rarita-Schwinger-vågor i en extern elektromagnetisk potential". Fysisk granskning . American Physical Society (APS). 186 (5): 1337–1341. Bibcode : 1969PhRv..186.1337V . doi : 10.1103/physrev.186.1337 . ISSN 0031-899X .
•   Velo, Giorgio; Zwanzinger, Daniel (1969-12-25). "Icke-kausalitet och andra defekter av interaktion Lagrangians för partiklar med Spin One och högre". Fysisk granskning . American Physical Society (APS). 188 (5): 2218–2222. Bibcode : 1969PhRv..188.2218V . doi : 10.1103/physrev.188.2218 . ISSN 0031-899X .
•   Kobayashi, M.; Shamaly, A. (1978-04-15). "Minimal elektromagnetisk koppling för massiva spin-två-fält". Fysisk granskning D . American Physical Society (APS). 17 (8): 2179–2181. Bibcode : 1978PhRvD..17.2179K . doi : 10.1103/physrevd.17.2179 . ISSN 0556-2821 .