Radiativ överföringsekvation och diffusionsteori för fotontransport i biologisk vävnad

Fotontransport i biologisk vävnad kan likvärdigt modelleras numeriskt med Monte Carlo-simuleringar eller analytiskt med strålningsöverföringsekvationen (RTE). RTE är dock svår att lösa utan att införa approximationer. En vanlig approximation som sammanfattas här är diffusionsapproximationen. Sammantaget är lösningar på diffusionsekvationen för fotontransport mer beräkningseffektiva, men mindre exakta än Monte Carlo-simuleringar.

Homogent fall

Absorberande inhomogenitet

Spridningsinhomogenitet

Definitioner

Figur 1: Schematisk energiflöde genom ett differentialareaelement

dA

vid position

{\vec {r}}

inom ett differentiellt rymdvinkelelement

d\Omega

.

RTE kan matematiskt modellera överföringen av energi när fotoner rör sig inuti en vävnad. Strålningsenergiflödet genom ett element med liten yta i strålningsfältet kan karakteriseras av radians $L({\vec {r}},{ \hat {s}},t)({\frac {W}{m^{2}sr}})$ . Radians definieras som energiflöde per enhet normalarea per enhet rymdvinkel per tidsenhet. Här ${\vec {r}}$ position, ${\displaystyle {\hat {s}}}$ betecknar enhetsriktningsvektor och $t$ anger tid (Figur 1). Flera andra viktiga fysiska storheter är baserade på definitionen av strålning:

Fluenshastighet eller intensitet $\Phi ({\vec {r}},t)=\ int _{4\pi }L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left({\frac {W}{m^{2}}}\right)$
Fluens $F({\vec {r}})=\int _{-\infty }^{ +\infty }\Phi ({\vec {r}},t)dt\left({\frac {J}{m^{2}}}\right)$
Strömdensitet (energiflöde ) J $\displaystyle {\vec {J}}({\ vec {r}},t)=\int _{4\pi }{\hat {s}}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \left( {\frac {W}{m^{2}}}\right)}$ . Detta är vektormotsvarigheten till fluenshastighet som pekar i den rådande riktningen för energiflödet.

Radiativ överföringsekvation

RTE är en differentialekvation som beskriver radians $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)$ . Det kan härledas genom att spara energi . Kortfattat anger RTE att en ljusstråle förlorar energi genom divergens och utsläckning (inklusive både absorption och spridning bort från strålen) och får energi från ljuskällor i mediet och spridning riktad mot strålen. Koherens , polarisering och icke-linjäritet försummas. Optiska egenskaper som brytningsindex $n$ , absorptionskoefficient μ _a , spridningskoefficient μ _s , och spridningsanisotropi $g$ tas som tidsinvariant men kan variera rumsligt. Spridningen antas vara elastisk. RTE ( Boltzmann-ekvationen ) skrivs alltså som:

{\frac {\partial L({\vec {r }},{\hat {s}},t)/c}{\partial t}}=-{\hat {s}}\cdot \nabla L({\vec {r}},{\hat {s }},t)-\mu _{t}L({\vec {r}},{\hat {s}},t)+\mu _{s}\int _{4\pi }L({ \vec {r}},{\hat {s}}',t)P({\hat {s}}',{\hat {s}})d\Omega '+S({\vec {r} },{\hat {s}},t)

var

$c$ är ljusets hastighet i vävnaden, som bestäms av det relativa brytningsindexet
μ _t $=$ μ _a +μ _s är extinktionskoefficienten
$P({\hat {s}}',{\hat {s}})$ är fasfunktionen, som representerar sannolikheten för ljus med utbredningsriktningen ${\ displaystyle {\hat {s}}'}$ sprids i rymd vinkel $d\Omega$ runt ${\hat {s}}$ . I de flesta fall beror fasfunktionen endast på vinkeln mellan de spridda ${\hat {s}}'$ och infallande ${\hat {s}}$ riktningarna, dvs $P({\hat {s}}',{\hat {s}})=P({\hat {s}}' \cdot {\hat {s}})$ . Spridningsanisotropin kan uttryckas som $g=\int _{4\pi }({\hat {s }}'\cdot {\hat {s}})P({\hat {s}}'\cdot {\hat {s}})d\Omega$
$S({\vec {r}},{\hat {s}},t)$ beskriver ljuskällan.

Diffusionsteori

Antaganden

I RTE definierar sex olika oberoende variabler radiansen vid valfri rumslig och tidsmässig punkt ( $x$ , $y$ och $z$ från ${\vec {r }}$ , polär vinkel $\theta$ och azimutvinkel $\phi$ från ${\hat {s}}$ och $t$ ). Genom att göra lämpliga antaganden om beteendet hos fotoner i ett spridningsmedium kan antalet oberoende variabler reduceras. Dessa antaganden leder till diffusionsteorin (och diffusionsekvationen) för fotontransport. Två antaganden tillåter tillämpningen av diffusionsteori på RTE:

I förhållande till spridningshändelser finns det väldigt få absorptionshändelser. På samma sätt, efter många spridningshändelser, kommer få absorptionshändelser att inträffa och strålningen kommer att bli nästan isotropisk. Detta antagande kallas ibland för riktningsbreddning.
I ett primärt spridningsmedium är tiden för väsentlig strömtäthetsförändring mycket längre än tiden för att korsa en fri transportväg. Sålunda, över en transportmedelfri väg, är den fraktionella förändringen i strömtäthet mycket mindre än enhet. Denna egenskap kallas ibland tidsmässig breddning.

Båda dessa antaganden kräver ett medium med hög albedo (övervägande spridning).

RTE i diffusionsapproximationen

Radians kan expanderas på en grunduppsättning av sfäriska övertoner $Y$ _{n, m} . I diffusionsteorin anses strålning till stor del vara isotrop, så endast de isotropa och första ordningens anisotropa termerna används: $L({\vec {r}},{\hat {s}},t)\approx \ \summa _{n=0}^{ 1}\summa _{m=-n}^{n}L_{n,m}({\vec {r}},t)Y_{n,m}({\hat {s}})$ där $L$ _{n, m} är expansionskoefficienterna. Radians uttrycks med 4 termer; en för n = 0 (den isotropiska termen) och 3 termer för n = 1 (de anisotropa termerna). Använda egenskaper för sfäriska övertoner och definitionerna av fluenshastighet ${ \vec {J}}({\vec {r}},t)$ $\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t)}$ och strömtäthet , de isotropa respektive anisotropa termerna kan uttryckas enligt följande:

$L_{0,0}({\vec {r}},t)Y_{0,0} ({\hat {s}})={\frac {\Phi ({\vec {r}},t)}{4\pi }}$
$\sum _{m=-1 }^{1}L_{1,m}({\vec {r}},t)Y_{1,m}({\hat {s}})={\frac {3}{4\pi }} {\vec {J}}({\vec {r}},t)\cdot {\hat {s}}$

Därför kan vi uppskatta utstrålning som

L({\vec {r}},{ \hat {s}},t)={\frac {1}{4\pi }}\Phi ({\vec {r}},t)+{\frac {3}{4\pi }}{\ vec {J}}({\vec {r}},t)\cdot {\hat {s}}

Genom att ersätta uttrycket ovan med utstrålning, kan RTE skrivas om i skalär- respektive vektorformer enligt följande (RTE:ns spridningsterm är integrerad över hela $4\pi$ rymdvinkeln. För vektorformen, RTE multipliceras med riktning ${\hat {s}}$ före utvärdering.):

{\frac {\partial \ Phi ({\vec {r}},t)}{c\partial t}}+\mu _{a}\Phi ({\vec {r}},t)+\nabla \cdot {\vec {J }}({\vec {r}},t)=S({\vec {r}},t)

{\frac {\partial {\vec {J}}({\vec {r}},t)}{c\partial t}}+(\mu _{a}+\mu _{s}'){\vec {J}}({\vec {r}},t)+{\frac {1}{3}}\ nabla \Phi ({\vec {r}},t)=0

Diffusionsapproximationen är begränsad till system där reducerade spridningskoefficienter är mycket större än deras absorptionskoefficienter och har en minsta skikttjocklek i storleksordningen några transportmedelvägar .

Diffusionsekvationen

Med användning av det andra antagandet om diffusionsteorin noterar vi att bråkförändringen i strömtäthet ${\vec {J}}({\vec {r}},t)$ över en transport medelfri väg är försumbar. Vektorrepresentationen av diffusionsteorin RTE reducerar till Ficks lag ${\vec {J}}( {\vec {r}},t)={\frac {-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)}{3(\mu _{a}+\mu _{s}') }}$ , som definierar strömtätheten i termer av gradienten av fluenshastighet. Att ersätta Ficks lag i den skalära representationen av RTE ger diffusionsekvationen:

{\display style {\c {1}{c}}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}+\mu _{a}\Phi ({\vec {r}} ,t)-\nabla \cdot [D\nabla \Phi ({\vec {r}},t)]=S({\vec {r}},t)}

$D={\frac {1}{3(\mu _{a}+\mu _{s}')}}$ är diffusionskoefficienten och μ ' _s $=(1-g)$ μ _s är den reducerade spridningskoefficienten. Noterbart finns det inget explicit beroende av spridningskoefficienten i diffusionsekvationen. Istället visas endast den reducerade spridningskoefficienten i uttrycket för $D$ . Detta leder till en viktig relation; diffusionen är opåverkad om anisotropin hos spridningsmediet ändras medan den reducerade spridningskoefficienten förblir konstant.

Lösningar till diffusionsekvationen

För olika konfigurationer av gränser (t.ex. lager av vävnad) och ljuskällor kan diffusionsekvationen lösas genom att tillämpa lämpliga gränsvillkor och definiera källtermen $S({\vec {r}} ,t)$ som situationen kräver.

Punktkällor i oändliga homogena medier

En lösning på diffusionsekvationen för det enkla fallet med en kortpulsad punktkälla i ett oändligt homogent medium presenteras i detta avsnitt. Källtermen i diffusionsekvationen blir ${\displaystyle S({\vec {r} },t,{\vec {r'}},t')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r'}})\delta (tt')} , där$ r $\ displaystyle {\vec {r}}}$ är den position där fluenshastigheten mäts och ${\vec {r'}}$ är källans position. Pulsen når sin topp vid tidpunkten $t'$ . Diffusionsekvationen löses för att fluenshastigheten ska ge

\Phi ({\vec {r}},t;{\vec {r'}},t)={\frac {c }{[4\pi Dc(tt')]^{3/2}}}\exp \left[-{\frac {\mid {\vec {r}}-{\vec {r'}}\mid ^{2}}{4Dc(tt')}}\right]\exp[-\mu _{a}c(tt')]

Termen $\exp \left[-\mu _{a}c(tt')\right]$ representerar den exponentiella minskningen i inflytandehastigheten på grund av absorption i enlighet med Beers lag . De andra termerna representerar breddning på grund av spridning. Givet ovanstående lösning kan en godtycklig källa karakteriseras som en överlagring av kortpulsade punktkällor. Att ta tidsvariation ur diffusionsekvationen ger följande för en tidsoberoende punktkälla $S({\vec {r}})=\delta ({\vec { r}})$ :

\Phi ({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi Dr}}\ exp(-\mu _{\mathrm {eff} }r)

${\displaystyle \mu _{\mathrm {eff} }={\sqrt {\frac {\mu _{a}}{D}}}} är$ den effektiva dämpningskoefficienten och indikerar hastighet av rumslig förfall i inflytande.

Gränsförhållanden

Fluenshastighet vid en gräns

Hänsyn till gränsförhållanden tillåter användning av diffusionsekvationen för att karakterisera ljusutbredning i media av begränsad storlek (där gränssnitt mellan mediet och den omgivande miljön måste beaktas). För att börja adressera en gräns kan man fundera på vad som händer när fotoner i mediet når en gräns (dvs en yta). Den riktningsintegrerade strålningen vid gränsen och riktad in i mediet är lika med den riktningsintegrerade strålningen vid gränsen och riktad ut ur mediet multiplicerad med reflektansen $R_{F$ }

\int _{{\hat {s}}\cdot {\hat {n}}<0}L({\vec {r}},{\hat {s} },t){\hat {s}}\cdot {\hat {n}}d\Omega =\int _{{\hat {s}}\cdot {\hat {n}}>0}R_{F }({\hat {s}}\cdot {\hat {n}})L({\vec {r}},{\hat {s}},t){\hat {s}}\cdot {\ hatt {n}}d\Omega

där ${\hat {n}}$ är normal mot och pekar bort från gränsen. Diffusionsapproximationen ger ett uttryck för radians $L$ i termer av fluenshastighet $\Phi$ och strömtäthet ${\vec {J}}$ . Att utvärdera ovanstående integraler efter substitution ger:

{\frac {\Phi ({\vec {r}},t)}{4}}+{\vec {J}}({\vec {r}},t)\cdot {\frac {\hat { n}}{2}}=R_{\Phi }{\frac {\Phi ({\vec {r}},t)}{4}}-R_{J}{\vec {J}}({\ vec {r}},t)\cdot {\frac {\hat {n}}{2}}

$R_{\Phi }=\int _{0}^{\pi /2}2\sin \theta \cos \theta R_{F}(\cos \theta )d\theta$
$R_{J}=\int _{0}^{\pi /2}3\sin \theta (\cos \theta )^{2}R_{F}(\cos \theta )d\theta$

Ersätter Ficks lag ( ${\vec {J}}({\vec {r}},t)=-D\nabla \ Phi ({\vec {r}},t)$ ) ger, på avstånd från gränsen z=0,

\Phi ({\vec {r}},t)=A_{z}{\frac {\partial \Phi ( {\vec {r}},t)}{\partial z}}

$A_{z}=2D{\frac {1+R_{\mathrm {eff} }}{1-R_{\mathrm {eff } }}}$
$R_{\mathrm {eff} }={\frac {R_{\Phi }+R_{J}}{2-R_{\ Phi }+R_{J}}}$

Den extrapolerade gränsen

Det är önskvärt att identifiera en nollfluensgräns. Men fluenshastigheten $\Phi (z=0,t)$ vid en fysisk gräns är i allmänhet inte noll. En extrapolerad gräns, vid $z$ _b för vilken fluenshastigheten är noll, kan bestämmas för att etablera bildkällor. Med hjälp av en första ordningens Taylor-serieuppskattning ,

\left.\Phi (z=-A_{z},t)\approx \Phi (z=0,t)-A_{z}{\frac {\partial \Phi ({\vec { r}},t)}{\partial z}}\right|_{z=0}

som utvärderas till noll eftersom $\Phi ({\vec {r}},t)=A_{z}{\frac { \partial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial z}}$ . Således, per definition, $z$ _b vara $-A$ _z enligt definitionen ovan. Noterbart, när brytningsindex är detsamma på båda sidor om gränsen, $R$ _F noll och den extrapolerade gränsen är vid $z$ _b $=-2D$ .

Pennstråle infaller normalt på ett halvoändligt medium

Med hjälp av randvillkor kan man ungefär karakterisera diffus reflektans för en pennstråle som normalt infaller på ett halvoändligt medium. Strålen kommer att representeras som två punktkällor i ett oändligt medium enligt följande (Figur 2):

Ställ in spridningsanisotropi $g$ ₂ $=0$ för spridningsmediet och ställ in den nya spridningskoefficienten μ _s2 till den ursprungliga μ _s1 multiplicerad med $(1-g$ ₁ $)$ , där $g$ ₁ är den ursprungliga spridningsanisotropin.
Konvertera pennstrålen till en isotrop punktkälla på ett djup av ett transportmedelvärde för fri bana $l$ ' under ytan och effekt = $a$ '.
Implementera det extrapolerade gränsvillkoret genom att lägga till en bildkälla med motsatt tecken ovanför ytan vid $l$ ' $+2z$ _b .

De två punktkällorna kan karakteriseras som punktkällor i ett oändligt medium via

\Phi _{\inftyta }(r,\ z;r',\theta ',z')={\frac {1}{4\pi D\rho }}\exp(-\mu _{\mathrm {eff} }\rho )

$\rho$ är avståndet från observationspunkten $(r,\theta ,z)$ till källplatsen $(r ',\theta ',z')$ i cylindriska koordinater. Den linjära kombinationen av fluenshastighetsbidragen från de två bildkällorna är

\Phi (r,\theta ,z;r',\theta ',z')=a'\Phi _{\infty }(r, \theta ,z;r',\theta ',z')-a'\Phi _{\infty }(r,\theta ,z;r',\theta ',-z'-2z_{b})

Detta kan användas för att få diffus reflektans $R$ _d $(r)$ via Ficks lag:

\left.R_{d}(r)=D{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\ höger|_{z=0}={\frac {a'z'(1+\mu _{\mathrm {eff} }\rho _{1})\exp(-\mu _{\mathrm {eff} }\rho _{1})}{4\pi \rho _{1}^{3}}}+{\frac {a'(z'+4D)(1+\mu _{\mathrm {eff} }\rho _{2})\exp(-\mu _{\mathrm {eff} }\rho _{2})}{4\pi \rho _{2}^{3}}}

$\rho _{1}$ är avståndet från observationspunkten $(r,0,0)$ till källan vid $\displaystyle (0 ,0,z')}$ och $\rho _{2}$ är avståndet från observationspunkten till bildkällan vid $(0,0,- z'-2z$ _b $)$ .

Diffusionsteorilösningar kontra Monte Carlo-simuleringar

Monte Carlo-simuleringar av fotontransport, även om de är tidskrävande, kommer noggrant att förutsäga fotonbeteende i ett spridningsmedium. De antaganden som är involverade i att karakterisera fotonbeteende med diffusionsekvationen genererar felaktigheter. I allmänhet är diffusionsapproximationen mindre exakt när absorptionskoefficienten μa _ökar och spridningskoefficienten μs _minskar . För en fotonstråle som infaller på ett medium med begränsat djup är felet på grund av diffusionsapproximationen mest framträdande inom en transportmedelfri väg för platsen för fotonincidensen (där strålningen ännu inte är isotropisk) (Figur 3). Bland stegen i att beskriva en pennstråle som infaller på ett halvoändligt medium med diffusionsekvationen, omvandling av mediet från anisotropt till isotropt (steg 1) (Figur 4) och omvandling av strålen till en källa (steg 2) (Figur 5) generera fler fel än att konvertera från en enskild källa till ett par bildkällor (steg 3) (Figur 6). Steg 2 genererar det mest signifikanta felet.

Figur 3: Diffus reflektans vs. radie från en infallande pennstråle som bestäms av en Monte Carlo-simulering (röd) och diffus reflektans vs. radie från två isotropa punktkällor som bestäms av diffusionsteorilösningen till RTE (blå). Transportmedelvärdet för den fria vägen är 0,1 cm.
Figur 4: Diffus reflektans mot radie från infallande pennstråle för ett anisotropt (blått) och isotropt (rött) medium.
Figur 5: Diffus reflektans mot radie från fotonkälla för en pennstråle (blå) och en isotrop punktkälla (röd).
Figur 6: Diffus reflektans mot radie från fotonkällan för en isotrop punktkälla som kännetecknas av lösningen till RTE (blå) och en Monte Carlo-simulering (röd).

Se även

Vidare läsning

LV Wang & HI Wu (2007). Biomedicinsk optik . Wiley. ISBN 978-0-471-74304-0 .

SG Proskurin (2011). "Kvantelektron. 41 402". Kvantelektronik . 41 (5): 402–406. doi : 10.1070/QE2011v041n05ABEH014597 . (2011)