Rättvis uppdelning av en enda homogen resurs

Rättvis delning av en enda homogen resurs är en av de enklaste inställningarna i rättvis delningsproblem . Det finns en enda resurs som ska delas mellan flera personer. Utmaningen är att varje person får olika nytta av varje mängd av resursen. Det finns därför flera motstridiga principer för att bestämma hur resursen ska fördelas. En primär konflikt är mellan effektivitet och jämlikhet. Effektivitet representeras av den utilitaristiska regeln , som maximerar summan av nyttigheter; Jämlikhet representeras av den egalitära regeln, som maximerar miniminyttan.

Miljö

I ett visst samhälle finns det:

$t$ enheter av någon delbar resurs.
$n$ agenter med olika "verktyg".
Verktyget för agent $i$ representeras av en funktion $u_{i}$ ; när agent $i$ tar emot $y_{i}$ resursenheter, härleder han ett nytta av $u_{i}(y_{i})$ .

Den här inställningen kan ha olika tolkningar. Till exempel:

Resursen är trä, agenterna är byggare, och nyttofunktionerna representerar deras produktionskraft - $u_{i}(y_{i})$ är antalet byggnader som agent $i$ kan bygga med $y_{i}$ enheter av trä.
Resursen är en medicin, medlen är patienter, och hjälpfunktionerna representerar deras chans att återhämta sig - $u_{i}(y_{i})$ är sannolikheten för agent $i$ för att återhämta sig genom att få $y_{i}$ doser av medicinen.

I vilket fall som helst måste samhället bestämma hur resursen ska delas mellan agenterna: det måste hitta en vektor $y_{1},\dots ,y_{n}$ så att: $y_{1}+\cdots +y_{n}=t$

Tilldelningsregler

Avundslöst

Avundsfrihetsregeln säger att resursen ska allokeras så att ingen agent avundas en annan agent . I fallet med en enda homogen resurs väljer den alltid allokeringen som ger varje agent samma mängd av resursen, oavsett deras nyttofunktion:

\forall i:y_{i}=t/n

Utilitarist

Den utilitaristiska regeln säger att summan av nyttigheter ska maximeras. Därför är den utilitaristiska allokeringen:

y=\arg \max _{y}\sum _{i}u_{i}(y_{i})

Jämlikhetskämpe

Den egalitära regeln säger att alla agenters nyttigheter ska vara lika. Därför skulle vi vilja välja en tilldelning som uppfyller:

\forall i,j:u_{i}(y_{i})=u_{j}(y_{j})

Det kan dock hända att sådan tilldelning inte existerar, eftersom intervallen för verktygsfunktionerna kanske inte överlappar varandra (se exempel nedan). För att säkerställa att en lösning finns tillåter vi olika verktygsnivåer, men kräver att agenter med verktygsnivåer över miniminivån inte får några resurser:

y_{i}>0\implicerar u_{i}(y_{i})=\min _{j}u_{j }(y_{j})

På motsvarande sätt maximerar den jämlika fördelningen miniminyttan:

y=\arg \max _{y}\min _{i}u_{i}(y_{i})

De utilitaristiska och jämlika reglerna kan leda till samma tilldelning eller till olika tilldelningar, beroende på nyttofunktionerna. Några exempel illustreras nedan.

Exempel

Gemensam nytta och ojämlika donationer

Anta att alla agenter har samma verktygsfunktion, $u$ , men varje agent $i$ har en annan initial begåvning, $x_{i}$ . Så nyttan av varje agent $i$ ges av:

u_{i}(y_{i})=u(x_{i}+y_{i})

Om $u$ är en konkav funktion , som representerar minskande avkastning , så är de utilitaristiska och egalitära allokeringarna desamma - att försöka utjämna agenternas förmågor. Till exempel, om det finns 3 agenter med initiala donationer $x=2,4,9$ och det totala beloppet är $t=8$ , så rekommenderar båda reglerna allokering $y=5,3,0$ , eftersom den både driver mot lika nytta (så mycket som möjligt) och maximerar summan av verktyg.

Däremot, om $u$ är en konvex funktion , som representerar ökande avkastning , så driver den egalitära allokeringen fortfarande mot jämlikhet, men den utilitaristiska allokeringen ger nu all donation till den rikaste agenten: ${\$ . Detta är vettigt, till exempel när resursen är en knapp medicin: det kan socialt sett vara bäst att ge all medicin till den patient som har störst chans att bota.

Konstanta nyttokvoter

Anta att det finns en vanlig verktygsfunktion $u$ , men varje agent har en annan koefficient $a_{i}$ som representerar denna agents produktivitet. Så nyttan av varje agent $i$ ges av:

u_{i}(y_{i})=a_{i}\cdot u(y_{i})

Här är de utilitaristiska och jämlika synsätten diametralt motsatta.

Den jämlika allokeringen ger mer resurser till de mindre produktiva agenterna, för att kompensera dem och låta dem nå en hög nyttonivå:
$a_{i}>a_{j}\ innebär y_{j}>y_{i}$
Den utilitaristiska allokeringen ger mer resurser till de mer produktiva agenterna, eftersom de kommer att använda resurserna bättre:
$a_{i}>a_{j}\implies y_{i}> y_{j}$

Egenskaper för tilldelningsregler

Resursmonotonicitet : det avundsfria styret och det jämlika styret är alltid resursmonotona. Den utilitaristiska regeln är resursmonotonisk när alla hjälpfunktioner är konkava funktioner , som representerar minskande avkastning ; men när vissa verktygsfunktioner är konvexa funktioner , som representerar ökande avkastning , kanske den utilitaristiska regeln inte är resursmonotonisk.

Se även