Quantum Boltzmann ekvation

Kvant Boltzmann-ekvationen, även känd som Uehling-Uhlenbeck-ekvationen , är den kvantmekaniska modifieringen av Boltzmann-ekvationen , som ger icke-jämviktstidens utveckling av en gas av kvantmekaniskt interagerande partiklar. Vanligtvis ges kvantboltzmannekvationen endast som "kollisionstermen" för hela Boltzmann-ekvationen, vilket ger förändringen av momentumfördelningen för en lokalt homogen gas, men inte driften och diffusionen i rymden. Den formulerades ursprungligen av LW Nordheim (1928), och av och EA Uehling och George Uhlenbeck (1933).

I full allmänhet (inklusive drifttermerna p-rymd och x-rymd, som ofta försummas) representeras ekvationen analogt med Boltzmann-ekvationen.

$$\left[{\frac {\partial }{\partial t }}+\mathbf {v} \cdot \nabla _{x}+\mathbf {F} \cdot \nabla _{p}\right]f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)= {\mathcal {Q}}[f](\mathbf {x} ,\mathbf {p} )$$

där $\mathbf {F}$ representerar en externt applicerad potential som verkar på gasens p-rumsfördelning och ${\mathcal {Q}}$ är kollisionsoperatorn, som står för interaktionerna mellan gasen partiklar. Kvantmekaniken måste representeras i den exakta formen av ${\displaystyle {\mathcal {Q}}} ,$ vilket beror på fysiken i systemet som ska modelleras.

Kvant Boltzmann ekvationen ger irreversibelt beteende, och därför en pil av tid ; det vill säga efter tillräckligt lång tid ger det en jämviktsfördelning som inte längre förändras. Även om kvantmekaniken är mikroskopiskt tidsreversibel, ger kvant Boltzmann-ekvationen irreversibelt beteende eftersom fasinformation förkastas, endast det genomsnittliga antalet kvanttillstånd behålls. Lösningen av Boltzmann-kvantekvationen är därför en bra approximation till systemets exakta beteende på korta tidsskalor jämfört med Poincaré-recisionstiden, vilket vanligtvis inte är en allvarlig begränsning, eftersom Poincaré-recidivtiden kan vara många gånger åldern för universum även i små system.

Kvant Boltzmann-ekvationen har verifierats genom direkt jämförelse med tidsupplösta experimentella mätningar, och har i allmänhet funnit mycket användning inom halvledaroptik. Till exempel har energifördelningen för en gas av excitoner som funktion av tid (i pikosekunder), mätt med en streakkamera, visat sig närma sig en Maxwell-Boltzmann- jämviktsfördelning .

Tillämpning på halvledarfysik

En typisk modell av en halvledare kan byggas på antagandena att:

1. Elektronfördelningen är rumsligt homogen till en rimlig approximation (så allt x-beroende kan undertryckas)
2. Den externa potentialen är endast en funktion av position och isotrop i p-rymden, och därför kan $\mathbf {F}$ sättas till noll utan att förlora någon ytterligare generalitet
3. Gasen är tillräckligt utspädd för att trekroppsinteraktioner mellan elektroner kan ignoreras.

Med tanke på utbytet av momentum $\mathbf {q}$ mellan elektroner med initial momenta $\mathbf {k}$ och $\mathbf {k_{1}}$ , är det möjligt att härleda uttrycket

$${\mathcal {Q}}[f](\mathbf {k} )={ \frac {-2}{\hbar (2\pi )^{5}}}\int d\mathbf {q} \int d\mathbf {k_{1}} |{\hat {v}}(\mathbf {q} )|^{2}\delta \left({\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(|\mathbf {kq} |^{2}+|\mathbf {k_{1} +q} |^{2}-\mathbf {k} _{1}^{2}-\mathbf {k} ^{2})\right)\left[f_{\mathbf {k} }f_{\ mathbf {k_{1}} }(1-f_{\mathbf {kq} })(1-f_{\mathbf {k_{1}+q} })-f_{\mathbf {kq} }f_{\mathbf {k_{1}+q} }(1-f_{\mathbf {k} })(1-f_{\mathbf {k_{1}} })\right]$$