Punktnummer

Dottie-numret är den unika verkliga fixpunkten för cosinusfunktionen .

I matematik är Dottie -talet en konstant som är den unika verkliga roten av ekvationen

$\cos x=x$ ,

där argumentet för $\cos$ är i radianer . Decimalexpansionen av Dottie-talet är $0,739085...$ .

Eftersom $x)-x}$ ( minskar och dess derivata är icke-noll vid $\cos(x)-x=0$ , korsar den bara noll vid en punkt. Detta innebär att ekvationen $\cos(x)=x$ bara har en verklig lösning. Det är den enda verkliga fixpunkten för cosinusfunktionen och är ett icke-trivialt exempel på en universell attraherande fixpunkt. Det är också ett transcendentalt tal på grund av Lindemann-Weierstrass teorem . Det generaliserade fallet $\cos z=z$ för en komplex variabel $z$ har oändligt många rötter, men till skillnad från Dottie-talet, lockar de inte fasta punkter.

Använda Taylor-serien av inversen av $f(x)=\cos(x)-x$ vid ${\textstyle {\frac {\pi }{ 2}}}$ (eller motsvarande Lagrange-inversionssatsen ), kan Dottie-talet uttryckas som den oändliga serien ${\textstyle {\frac {\pi }{2}} +\summa _{n\,\mathrm {udda} }a_{n}\pi ^{n}}$ där varje $a_{n}$ är ett rationellt tal definierat för udda n som

$_ displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!2^{n}}}\lim _{m\to {\frac {\pi }{2}}}{\ frac {\partial ^{n-1}}{\partial m^{n-1}}}{\left({\frac {\cos m}{m-\pi /2}}-1\right)^ {-n}}\\&=-{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{768}},-{\frac {1}{61440}},-{\frac { 43}{165150720}},\ldots \end{aligned}}}$

Namnet på konstanten kommer från en professor i franska vid namn Dottie som observerade siffran genom att upprepade gånger trycka på cosinusknappen på sin miniräknare.

Om en miniräknare är inställd på att ta vinklar i grader kommer talföljden istället att konvergera till ${\displaystyle 0,999847...} ,$ roten av $\cos \ vänster({\frac {\pi }{180}}x\right)=x$ .

Stängd form

Dottie-numret kan uttryckas som

${\sqrt {1-\left(2{\text{I}}_{\frac {1}{2 }}^{-1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}}\right)-1\right)^{2}}},$

där $I^{-1}$ är den omvända regulariserade Beta-funktionen . Särskilt i Microsoft Excel och LibreOffice Calc kalkylblad som SQRT(1-(2*BETA.INV(1/2,1/2,3/2)-1)^2) , i Mathematica datoralgebrasystem som Sqrt[1 - (2 InverseBetaRegularized[1/2, 1/2, 3/2] - 1)^2] .

externa länkar

• Miller, TH (feb 1890). "På de numeriska värdena för rötterna till ekvationen cosx = x" . Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society . 9 : 80–83. doi : 10.1017/S0013091500030868 .
• Salov, Valerii (2012). "Oundvikligt Dottie Number. Iterals av cosinus och sinus". arXiv : 1212.1027 .
• Azarian, Mohammad K. (2008). "OM DE FAST PUNKT I EN FUNKTION OCH DE FAST PUNKT I DESS KOMPOSITA FUNKTIONER" (PDF) . International Journal of Pure and Applied Mathematics .