Punkt-normal triangel

Den krökta punktnormaltriangeln , i korthet PN-triangeln , är en interpolationsalgoritm för att hämta en kubisk Bézier-triangel från vertexkoordinaterna för en vanlig platt triangel och normalvektorer . PN-triangeln behåller den hörn samt motsvarande normaler. Den introducerades först av Saul Kato 1999 och senare oberoende av A. Vlachos et al. år 2001 och används främst inom området datorgrafik . Användningen av PN-triangeln möjliggör visualisering av triangelbaserade ytor i en jämnare form till låg kostnad vad gäller rendering av komplexitet och tid.

Matematisk formulering

Med information om de givna vertexpositionerna ${\textstyle \mathbf {P} _{1},\mathbf {P} _{2},\mathbf {P} _{3} \in \mathbb {R} ^{3}}$ i en platt triangel och enligt normalvektorerna ${\textstyle \mathbf {N} _{1},\mathbf {N} _{2 },\mathbf {N} _{3}}$ vid hörnen konstrueras en kubisk Bézier-triangel. I motsats till notationen på Bézier-triangelsidan följer nomenklaturen G. Farin (2002), därför betecknar vi de 10 kontrollpunkterna som ${\textstyle \mathbf {b} _{ijk}}$ med de positiva indexen som håller villkoret ${\textstil i+j+k=3}$ .

De tre första kontrollpunkterna är lika med de givna hörnen.

$${\begin{aligned}\mathbf {b} _{300}&=\mathbf {P} _{1},&\mathbf {b} _{030}&=\mathbf {P} _{2},&\mathbf {b} _{003}&=\mathbf {P} _{3}\end{aligned}}$$

Sex kontrollpunkter relaterade till triangelkanterna, dvs ${\textstyle i,j,k=\left\{0,1,2\right\}}$ beräknas som

$${\begin{aligned}\mathbf {b} _{012}&={\frac {1}{3}}\left(2\mathbf {P} _{3}+\mathbf {P} _ {2}-\omega _{32}\mathbf {N} _{3}\right),&\mathbf {b} _{021}&={\frac {1}{3}}\left(2\ mathbf {P} _{2}+\mathbf {P} _{3}-\omega _{23}\mathbf {N} _{2}\right),&&\\\mathbf {b} _{102} &={\frac {1}{3}}\left(2\mathbf {P} _{3}+\mathbf {P} _{1}-\omega _{31}\mathbf {N} _{3 }\right),&\mathbf {b} _{201}&={\frac {1}{3}}\left(2\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{3} -\omega _{13}\mathbf {N} _{1}\right),&&\\\mathbf {b} _{120}&={\frac {1}{3}}\left(2\mathbf {P} _{2}+\mathbf {P} _{1}-\omega _{21}\mathbf {N} _{2}\right),&\mathbf {b} _{210}&={ \frac {1}{3}}\left(2\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}-\omega _{12}\mathbf {N} _{1}\right )&\qquad {\text{med}}\quad \omega _{ij}&=\left(\mathbf {P} _{j}-\mathbf {P} _{i}\right)\cdot \mathbf {N} _{i}.\\\end{aligned}}$$

Denna definition säkerställer att de ursprungliga vertexnormalerna reproduceras i den interpolerade triangeln.

Slutligen härleds den interna kontrollpunkten ${\textstyle (i=j=k=1)}$ från de tidigare beräknade kontrollpunkterna som

$${\begin{aligned}\mathbf {b} _{111}&=\mathbf {E} +{\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} -\mathbf {V} \right)\\{\text{med}}&\quad \mathbf {E} ={\frac {1}{6}}\left(\mathbf {b} _{012}+\mathbf {b} _ {021}+\mathbf {b} _{102}+\mathbf {b} _{201}+\mathbf {b} _{120}+\mathbf {b} _{210}\right)\\{\ text{and}}&\quad \mathbf {V} ={\frac {1}{3}}\left(\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}+\mathbf { P} _{3}\right).\end{aligned}}$$