Problem med servettringar

Om ett hål med höjden $h$ borras rakt genom mitten av en sfär, beror inte volymen på det återstående bandet på sfärens storlek. För en större sfär blir bandet tunnare men längre.

Animation av en skuren servettring med konstant höjd

Inom geometri innebär servettringproblemet att hitta volymen av ett "band" med specificerad höjd runt en sfär , dvs den del som återstår efter att ett hål i form av en cirkulär cylinder borrats genom sfärens mitt. Det är ett kontraintuitivt faktum att denna volym inte beror på den ursprungliga sfärens radie utan bara på det resulterande bandets höjd.

Problemet kallas så för att efter att ha tagit bort en cylinder från sfären liknar det återstående bandet formen av en servettring .

Påstående

Antag att axeln för en rät cirkulär cylinder passerar genom mitten av en sfär med radien $R$ och att $h$ representerar höjden (definierad som avståndet i en riktning parallell med axeln) för del av cylindern som är inne i sfären. "Bandet" är den del av sfären som är utanför cylindern. Bandets volym beror på $h$ men inte på $R$ :

$$V={\frac {\pi h^{3}}{6}}.$$

När radien $R$ för sfären krymper, måste cylinderns diameter också krympa för att $h$ ska kunna förbli densamma. Bandet blir tjockare, och detta skulle öka dess volym. Men den blir också kortare i omkrets, och detta skulle minska dess volym. De två effekterna tar exakt ut varandra. I extremfallet med minsta möjliga sfär försvinner cylindern (dess radie blir noll) och höjden $h$ är lika med sfärens diameter. I det här fallet är bandets volym volymen för hela sfären, vilket matchar formeln ovan.

En tidig studie av detta problem skrevs av den japanska matematikern Seki Kōwa från 1600-talet . Enligt Smith & Mikami (1914) kallade Seki denna solid för en bågring, eller på japanska kokan eller kokwan .

Bevis

Antag att sfärens radie är $R$ och längden på cylindern (eller tunneln) är $h$ .

Enligt Pythagoras sats är cylinderns radie

Hitta måtten på ringen som är det horisontella tvärsnittet.

$${\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}}},\qquad \qquad (1)$$

och radien för sfärens horisontella tvärsnitt på höjden $y$ ovanför "ekvatorn" är

$${\sqrt {R^{2}-y^{2}}}.\qquad \qquad (2)$$

Tvärsnittet av bandet med planet på höjden $y$ är området innanför den större cirkeln med radie som ges av (2) och utanför den mindre cirkeln med radie som ges av (1) . Tvärsnittets area är därför arean av den större cirkeln minus arean av den mindre cirkeln:

$${\begin{aligned}&{}\quad \pi ({\text{större radie}})^{2}-\pi ({\text{mindre radie}})^{2}\\& =\pi \left({\sqrt {R^{2}-y^{2}}}\right)^{2}-\pi \left({\sqrt {R^{2}-\left({ \frac {h}{2}}\right)^{2}\,{}}}\,\right)^{2}=\pi \left(\left({\frac {h}{2}} \right)^{2}-y^{2}\right).\end{aligned}}$$

Radien R visas inte i den sista kvantiteten. Därför beror arean av det horisontella tvärsnittet på höjden $y$ inte på $R$ , så länge som $y\leq {\tfrac {h} {2}}\leq R$ . Bandets volym är

$\int _{-h/2}^{h/2}({\text{tvärsnittsarea vid höjd }}y)\,dy,$

och det beror inte på $R$ .

Detta är en tillämpning av Cavalieris princip : volymer med lika stora motsvarande tvärsnitt är lika. I själva verket är arean av tvärsnittet densamma som den för motsvarande tvärsnitt av en sfär med radie $h/2$ , som har volym

$${\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {h}{2}}\right)^{3}={\frac {\pi h^{3}}{6 }}.$$

Se även

• Visuell kalkyl , ett intuitivt sätt att lösa den här typen av problem , användes ursprungligen för att hitta arean av en annulus , endast givet dess ackordlängd
• Stränggjorda jord , ett annat problem där radien för en sfär eller cirkel är kontraintuitivt irrelevant

• Devlin, Keith (2008), The Napkin Ring Problem , Mathematical Association of America , arkiverad från originalet den 30 april 2008 , hämtad 25 februari 2009
• Devlin, Keith (2008), Lockharts Lament , Mathematical Association of America , arkiverad från originalet den 10 maj 2008 , hämtad 25 februari 2009
• Gardner, Martin (1994), "Hole in the Sphere", Mina bästa matematiska och logiska pussel , Dover Publications , sid. 8
• Jones, Samuel I. (1912), Mathematical Wrinkles for Teachers and Private Learners , Norwood, MA: JB Cushing Co. Problem 132 frågar efter volymen av en sfär med ett cylindriskt hål borrat genom den, men noterar inte invariansen av problem vid förändringar av radie.
•   Levi, Mark (2009), "6.3 How Much Gold Is in a Wedding Ring?", The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems , Princeton University Press, s. 102–104, ISBN 978-0-691-14020- 9 . Levi hävdar att volymen endast beror på höjden på hålet baserat på det faktum att ringen kan sopas ut av en halvskiva med höjden som dess diameter.
• Lines, L. (1965), Solid geometri: With Chapters on Space-gitter, Sphere-packs and Crystals , Dover . Omtryck av 1935 års upplaga. Ett problem på sidan 101 beskriver formen som bildas av en sfär med en cylinder borttagen som en "servettring" och ber om ett bevis på att volymen är densamma som för en sfär med diameter lika med hålets längd.
• Pólya, George (1990), Mathematics and Plausible Reasoning , Vol. I: Induction and Analogy in Mathematics , Princeton University Press, s. 191–192 . Omtryck av 1954 års upplaga.
•   Smith, David E .; Mikami, Yoshio (1914), A History of Japanese Mathematics , Open Court Publishing Company, s. 121–123 . Återpublicerad av Dover, 2004, ISBN 0-486-43482-6 . Smith och Mikami diskuterar servettringproblemet i samband med två manuskript av Seki om mätning av fasta ämnen, Kyuseki och Kyuketsu Hengyo So.

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Sfärisk ring" . MathWorld .