Prime undvikande lemma

I algebra säger primtal undvikande-lemmat att om ett ideal I i en kommutativ ring R ingår i en förening av ändligt många primideal P _i , så finns det i P _i för vissa i .

Det finns många varianter av lemma (jfr Hochster); till exempel, om ringen R innehåller ett oändligt fält eller ett ändligt fält med tillräckligt stor kardinalitet, så följer påståendet av ett faktum i linjär algebra att ett vektorrum över ett oändligt fält eller ett ändligt fält med stor kardinalitet inte är en finit union av dess riktiga vektorunderrum.

Uttalande och bevis

Följande påstående och argument är kanske det mest standardiserade.

Påstående : Låt E vara en delmängd av R som är en additiv undergrupp av R och är multiplikativt sluten. Låt $I_{1},I_{2},\dots ,I_{n},n\geq 1$ vara ideal så att $I_{i}$ är primideal för $i\geq 3$ . Om E inte ingår i någon av $I_{i}$ , så ingår inte E i unionen $\cup I_{i}$ .

Bevis genom induktion på n : Tanken är att hitta ett element som är i E och inte i någon av ${\displaystyle I_{i}}:$ s. Grundfallet n = 1 är trivialt. Antag sedan att n ≥ 2. Välj för varje i

z_{i}\in E-\cup _{j\neq i}I_{j}

där mängden till höger inte är tom genom induktiv hypotes. Vi kan anta $z_{i}\in I_{i}$ för alla i ; annars undviker vissa $z_{i}$ alla $I_{i}$ och vi är klara. Sätta

z=z_{1}\dots z_{n-1}+z_{n}

.

Då är z i E men inte i någon av $I_{i}$ s. Faktum är att om z är i $I_{i}$ för vissa $i\leq n-1$ , så är $z_{n}$ i $I_{i}$ , en motsägelse. Antag att z är i $I_{n}$ . Då $z_{1}\dots z_{n-1}$ i $I_{n}$ . Om n är 2 är vi klara. Om n > 2, då, eftersom $I_{n}$ är ett primideal, är vissa $z_{i},i<n$ i $I_ {n}$ , en motsägelse.

E. Davis främsta undvikande

Det finns följande variant av prime undvikande på grund av E. Davis.

Sats — Låt A vara en ring, ${\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{r}$ primideal, x an element av A och J ett ideal. För det ideala $I=xA+J$ , om $I\not \subset {\mathfrak {p}}_{i}$ för varje i , då finns något y i J så att $x+y\not \in {\mathfrak {p}}_{i}$ för varje i .

Bevis: Vi argumenterar genom induktion på r . Utan förlust av generalitet kan vi anta att det inte finns någon inklusionsrelation mellan ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}:$ s; eftersom vi annars kan använda den induktiva hypotesen.

Dessutom, om $x\not \in {\mathfrak {p}}_{i}$ för varje i , då är vi klara; alltså, utan förlust av generalitet, kan vi anta $x\in {\mathfrak {p}}_{r}$ . Genom induktiv hypotes finner vi ett y i J så att $x+y\in I-\cup _{1}^{r-1}{\mathfrak {p}}_{i}$ . Om $x+y$ inte finns i ${\mathfrak {p}}_{r}$ är vi klara. Observera annars att ${\displaystyle J\not \subset {\mathfrak {p}}_{r}} ($ eftersom $x\in {\mathfrak {p}}_{r }$ ) och eftersom ${\mathfrak {p}}_{r}$ är ett utmärkt ideal, har vi:

{\mathfrak {p}}_{r}\not \supset J\,{\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p }}_{r-1}

.

Därför kan vi välja $y'$ i $J\,{\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{ r-1}$ som inte finns i ${\mathfrak {p}}_{r}$ . Sedan, eftersom ${\displaystyle x+y\in {\mathfrak {p}}_{r}} ,$ har elementet $x+y+y'$ erforderlig egendom. $\square$

Ansökan

Låt A vara en Noetherian ring, I ett ideal genererat av n element och M en finit A -modul så att $IM\neq M$ . Låt också $d=\operatörsnamn {djup} _{A}(I,M)$ = den maximala längden av M - reguljära sekvenser i I = längden av varje maximal M - regelbunden sekvens i I . Då $d\leq n$ ; denna uppskattning kan visas med användning av ovanstående främsta undvikande enligt följande. Vi argumenterar genom induktion på n . Låt ${\displaystyle \{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{r}\}} vara uppsättningen$ av associerade primtal av M . Om $d>0$ , så $I\not \subset {\mathfrak {p}}_{i}$ varje i . Om ${\displaystyle I=(y_{1},\dots ,y_{n})} ,$ då kan vi välja

x_{1}=y_{1}+\summa _{i=2}^{n}a_{i}y_{i}

för vissa $a_{i}$ i $A$ så att $x_{1}\inte \in \cup _{1}^{r} {\mathfrak {p}}_{i}$ = mängden nolldelare på M . Nu $I/(x_{1})$ ett ideal för $A/(x_{1})$ genererat av $n-1$ element och så, genom induktiv hypotes, $\operatornamn {djup} _{A/ (x_{1})}(I/(x_{1}),M/x_{1}M)\leq n-1$ . Påståendet följer nu.

Anteckningar

Mel Hochster , Dimensionsteori och parametersystem , en kompletterande not
Matsumura, Hideyuki (1986). Kommutativ ringteori . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6 . MR 0879273 . Zbl 0603.13001 .