Polytopologiskt utrymme

I allmän topologi består ett polytopologiskt utrymme av en mängd $X$ tillsammans med en familj $\{\tau _{i}\}_{i\in I}$ av topologier på $X$ som är linjärt ordnade av inklusionsrelationen ( $I$ är en godtycklig indexuppsättning ). Det antas vanligtvis att topologierna är i icke-minskande ordning, men vissa författare föredrar att sätta de associerade stängningsoperatorerna $\{k_{i}\}_{i\in I$ } i icke-minskande ordning (operatorerna $k_{i}$ och $k_{j}$ uppfyller $k_{i}\leq k_{j}$ om och endast om $k_{i}A\subseteq k_{j}A$ för alla $A\subseteq X$ ), i vilket fall topologierna måste vara icke- ökande.

Polytopologiska utrymmen introducerades 2008 av filosofen Thomas Icard i syfte att definiera en topologisk modell av Japaridzes polymodala logik (GLP) . De blev sedan ett studieobjekt i sin egen rätt, särskilt i samband med Kuratowskis stängningskomplementproblem .

Definition

Ett $L$ -topologiskt utrymme $(X,\tau )$ är en mängd $X$ tillsammans med en monoton karta $\tau :L \to$ Top $(X)$ där $(L,\leq )$ är en delvis ordnad uppsättning och Top $(X)$ är uppsättningen av alla möjliga topologier på $X,$ sorterade efter inkludering. När den partiella ordningen $\leq$ är en linjär ordning, kallas ( $\displaystyle (X,\tau )} ett$ polytopologiskt utrymme . Om $L$ är ordningsnumret $n=\{0,1,\dots ,n-1\},$ och ${\ displaystyle n}$ -topologiskt utrymme $(X,\tau _{0},\dots ,\tau _{n-1})$ kan ses som en ställ in $X$ tillsammans med $n$ topologier $\tau _{0}\subseteq \dots \subseteq \tau _{n-1}$ på den (eller $\tau _{0}\supseteq \dots \supseteq \tau _{n-1},$ beroende på preferens). Mer generellt är ett multitopologiskt utrymme $(X,\tau )$ en uppsättning $X$ tillsammans med en godtycklig familj $\tau$ av topologier på $X.$

Se även

• Bitopologiskt utrymme