Plummer modell

Plummer -modellen eller Plummer-sfären är en täthetslag som först användes av HC Plummer för att passa observationer av klotformiga hopar . Den används nu ofta som leksaksmodell i N-kroppssimuleringar av stjärnsystem.

Beskrivning av modellen

Densitetslagen för en Plummer-modell

Plummers 3-dimensionella densitetsprofil ges av

$\rho _{P}(r)={\frac {3M_{0}}{4\pi a^{3}}}\left(1+{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-{\frac {5}{2}}},$

där $M_{0}$ är klustrets totala massa, och a är Plummer-radien , en skalparameter som anger storleken på klusterkärnan. Motsvarande potential är

$\Phi _{P}(r)=-{\frac {GM_{0}}{\sqrt {r^{2}+a^ {2}}}},$

där G är Newtons gravitationskonstant . _ Hastighetsspridningen är

$\sigma _{P}^{2}(r)={\frac {GM_{0}}{6{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}}.$

Distributionsfunktionen är

$f({\vec {x}},{\ vec {v}})={\frac {24{\sqrt {2}}}{7\pi ^{3}}}{\frac {a^{2}}{G^{5}M_{0} ^{4}}}(-E({\vec {x}},{\vec {v}}))^{7/2},$

om $E<0$ , och $f({\vec {x}},{\vec {v}})=0$ annars, där $E({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {1}{2}}v ^{2}+\Phi _{P}(r)$ är den specifika energin .

Egenskaper

Massan innesluten inom radien $r$ ges av

$M(<r)=4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\rho _{P}(r')\,dr'=M_{0}{\frac {r^{3}}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}}.$

Många andra egenskaper hos Plummer-modellen beskrivs i Herwig Dejonghes omfattande artikel.

Kärnradien $r_{c}$ , där ytdensiteten sjunker till hälften av dess centrala värde, är vid $r_{c}=a{\sqrt {{ \sqrt {2}}-1}}\approx 0,64a$ .

Halvmassradien är $r_{h}=\left({\frac {1}{0.5^{2/3}}}-1\right)^{-0.5}a\approx 1.3a.$

Viriell radie är $r_{V}={\frac {16}{3\pi }}a\approx 1.7a$ .

2D-ytdensiteten är:

$\Sigma (R)=\int _{-\infty }^{\infty }\rho (r(z))dz=2\int _{0}^{\infty } {\frac {3a^{2}M_{0}dz}{4\pi (a^{2}+z^{2}+R^{2})^{5/2}}}={\frac {M_{0}a^{2}}{\pi (a^{2}+R^{2})^{2}}}$ ,

och därför är den 2D-projicerade massprofilen:

$M(R)=2\pi \int _{0}^{R}\ Sigma (R')\,R'dR'=M_{0}{\frac {R^{2}}{a^{2}+R^{2}}}$ .

Inom astronomi är det bekvämt att definiera 2D halvmassradie som är radien där den 2D projicerade massprofilen är hälften av den totala massan: $M(R_{1/ 2})=M_{0}/2$ .

För Plummer-profilen: ${\displaystyle R_{1/2}=$ .

Utrymningshastigheten vid någon punkt är

$v_{\rm {esc}}(r)={\sqrt {-2\Phi (r)}}= {\sqrt {12}}\,\sigma (r),$

För bundna banor kännetecknas banans radiella vändpunkter av specifik energi $E={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (r)$ och specifikt rörelsemängd $L=|{\vec {r}}\times {\vec {v}}|$ ges av de positiva rötterna i kubikekvationen

$R^{3}+{\frac {GM_{0}}{E}}R ^{2}-\left({\frac {L^{2}}{2E}}+a^{2}\right)R-{\frac {GM_{0}a^{2}}{E} }=0,$

där $R={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}$ , så att $r={\sqrt { R^{2}-a^{2}}}$ . Denna ekvation har tre reella rötter för $R$ : två positiva och en negativ, givet att $L<L_{c}(E)$ , där ${ \displaystyle L_{c}(E)}$ är det specifika vinkelmomentet för en cirkulär bana för samma energi. Här $L_{c}$ beräknas från en enda reell rot av diskriminanten i kubikekvationen , i sig är en annan kubikekvation

${\underline {E}}\,{\underline {L}}_{c}^{3}+\left(6 {\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{2}+{\frac {1}{2}}\right){\underline {L}}_{c}^{2 }+\left(12{\underline {E}}^{3}{\underline {a}}^{4}+20{\underline {E}}{\underline {a}}^{2}\right ){\underline {L}}_{c}+\left(8{\underline {E}}^{4}{\underline {a}}^{6}-16{\underline {E}}^{ 2}{\underline {a}}^{4}+8{\underline {a}}^{2}\right)=0,$

där understrukna parametrar är dimensionslösa i Henon-enheter definierade som ${\underline {E}}=Er_{V}/(GM_{0})$ , ${\underline {L}}_{c}=L_{c}/{\sqrt {GMr_{V}}}$ och ${\underline {a}}=a/r_{V}=3\pi /16$ .

Ansökningar

Plummer-modellen kommer närmast att representera de observerade täthetsprofilerna för stjärnhopar ] , även om den snabba minskningen av tätheten vid stora radier ( $\rho \rightarrow r^{-5$ ) är inte en bra beskrivning av dessa system.

Densitetens beteende nära centrum stämmer inte överens med observationer av elliptiska galaxer, som vanligtvis uppvisar en divergerande central densitet.

Den lätthet med vilken Plummer-sfären kan realiseras som en Monte-Carlo-modell har gjort den till ett favoritval bland N-kroppsexperimentörer , trots modellens brist på realism.