Planimeter

En planimeter , även känd som en platometer , är ett mätinstrument som används för att bestämma arean av en godtycklig tvådimensionell form.

Konstruktion

Det finns flera typer av planimetrar, men alla fungerar på liknande sätt. Det exakta sättet på vilket de är konstruerade varierar, med huvudtyperna av mekaniska planimetrar är polära, linjära och Prytz- eller "hatchet"-planimetrar. Den schweiziska matematikern Jakob Amsler-Laffon byggde den första moderna planimetern 1854, efter att ha banat väg för konceptet av Johann Martin Hermann 1814. Många utvecklingar följde Amslers berömda planimeter, inklusive elektroniska versioner.

Olika typer av planimetrar

Polar planimeter
En planimeter (1908) som mäter det angivna området genom att spåra dess omkrets
Amsler polar planimeter
En linjär planimeter. Hjul tillåter mätning av långa ytor utan begränsningar.
Tre planimetrar: digital, Prytzs (yxa) och Amslers (polär)
Prytz planimeter med hjul till vänster

Amsler (polär) typen består av en tvåstavslänkage. I slutet av en länk finns en pekare som används för att spåra runt gränsen för den form som ska mätas. Den andra änden av länkaget svänger fritt på en vikt som hindrar den från att röra sig. Nära korsningen mellan de två länkarna finns ett mäthjul med kalibrerad diameter, med en skala för att visa finrotation, och snäckväxling för en motskala för hjälpvarv. När områdets kontur spåras rullar detta hjul på ytan av ritningen. Operatören ställer in hjulet, vrider räknaren till noll och spårar sedan pekaren runt omkretsen av formen. När spårningen är klar visar skalorna vid mäthjulet formens yta.

När planimeterns mäthjul rör sig vinkelrätt mot dess axel rullar det och denna rörelse registreras. När mäthjulet rör sig parallellt med sin axel slirar hjulet utan att rulla, så denna rörelse ignoreras. Det betyder att planimetern mäter avståndet som dess mäthjul färdas, projicerat vinkelrätt mot mäthjulets rotationsaxel. Formens yta är proportionell mot antalet varv genom vilka mäthjulet roterar.

Den polära planimetern är designmässigt begränsad till att mäta områden inom gränser som bestäms av dess storlek och geometri. Den linjära typen har dock ingen begränsning i en dimension, eftersom den kan rulla. Dess hjul får inte glida, eftersom rörelsen måste begränsas till en rak linje.

Utvecklingen av planimetern kan fastställa positionen för det första ögonblicket av arean ( massacentrum ), och även det andra ögonblicket av arean .

Olika typer av planimetrar

Linjär planimeter
Polar planimeter

Bilderna visar principerna för en linjär och en polär planimeter. Pekaren M i ena änden av planimetern följer konturen C av ytan S som ska mätas. För den linjära planimetern är rörelsen av "armbågen" E begränsad till y -axeln. För den polära planimetern är "armbågen" ansluten till en arm med dess andra ändpunkt O i ett fast läge. Till armen ME sitter mäthjulet med sin rotationsaxel parallell med ME. En rörelse av armen ME kan delas upp i en rörelse vinkelrätt mot ME, vilket får hjulet att rotera, och en rörelse parallellt med ME, vilket gör att hjulet sladdar, utan något bidrag till dess avläsning.

Princip

Principen för den linjära planimetern

Den linjära planimeterns funktion kan förklaras genom att mäta arean av en rektangel ABCD (se bild). Armen EM rör sig med pekaren från A till B genom det gula parallellogrammet, med area lika med PQ×EM. Denna area är också lika med arean av parallellogrammet A"ABB". Mäthjulet mäter avståndet PQ (vinkelrätt mot EM). Förflyttning från C till D rör sig armen EM genom det gröna parallellogrammet, med arean lika med arean av rektangeln D"DCC". Mäthjulet rör sig nu i motsatt riktning och subtraherar denna avläsning från den förra. Rörelserna längs BC och DA är desamma men motsatta, så de upphäver varandra utan någon nettoeffekt på avläsningen av hjulet. Nettoresultatet är mätningen av skillnaden mellan de gula och gröna områdena, vilket är arean av ABCD.

Matematisk härledning

Funktionen av en linjär planimeter kan motiveras genom att tillämpa Greens sats på komponenterna i vektorfältet N, givet av:

\!\,N(x,y)=(by,x),

där b är y -koordinaten för armbågen E.

Detta vektorfält är vinkelrätt mot mätarmen EM:

{\overrightarrow {EM}}\cdot N=xN_{x}+(yb)N_{y}=0

och har en konstant storlek, lika med längden m på mätarmen:

\!\,\|N\|={\sqrt {(by)^{2}+x^{2}}}=m

Sedan:

{\begin{aligned}&\oint _{C}(N_{x}\,dx+N_{y}\,dy)=\ iint _{S}\left({\frac {\partial N_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial N_{x}}{\partial y}}\right)\,dx\ ,dy\\[8pt]={}&\iint _{S}\left({\frac {\partial x}{\partial x}}-{\frac {\partial (av)}{\partial y} }\right)\,dx\,dy=\iint _{S}\,dx\,dy=A,\end{aligned}}

därför att:

{\frac {\partial }{\partial y}}(yb)={\frac {\partial }{\partial y }}{\sqrt {m^{2}-x^{2}}}=0,

Den vänstra sidan av ovanstående ekvation, som är lika med arean A som omsluts av konturen, är proportionell mot avståndet som mäts av mäthjulet, med proportionalitetsfaktor m , längden på mätarmen.

Motiveringen för ovanstående härledning ligger i att notera att den linjära planimetern endast registrerar rörelse vinkelrätt mot dess mätarm, eller när

N\cdot (dx,dy)=N_{x}dx+N_{y}dy

är icke-noll. När denna storhet integreras över den slutna kurvan C, Greens sats och arean.

Polära koordinater

Sambandet med Greens teorem kan förstås i termer av integration i polära koordinater : i polära koordinater beräknas arean av integralen ${\textstyle \int _{\theta } {\tfrac {1}{2}}(r(\theta ))^{2}\,d\theta ,}$ där formen som integreras är kvadratisk i r, vilket betyder att hastigheten med vilken arean förändras med avseende på förändring i vinkel varierar kvadratiskt med radien.

För en parametrisk ekvation i polära koordinater, där både r och θ varierar som en funktion av tiden, blir detta

\int _{t}{\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}\,d(\theta (t))=\int _{t}{\tfrac { 1}{2}}(r(t))^{2}\,{\dot {\theta }}(t)\,dt.

För en polär planimeter är den totala rotationen av hjulet proportionell mot ${\textstyle \int _{t}r(t)\,{\dot {\theta }} (t)\,dt,}$ eftersom rotationen är proportionell mot den tillryggalagda sträckan, som vid vilken tidpunkt som helst är proportionell mot radien och vinkeländringen, som i omkretsen av en cirkel ( ${\textstil \int r\,d\theta =2\pi r} )$ .

Denna sista integrand ${\textstyle r(t)\,{\dot {\theta }}(t)}$ kan kännas igen som derivatan av den tidigare integranden ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}(r(t))^{2}{\dot {\theta }}(t)} ($ med avseende på r ), och visar att en polär planimeter beräknar areaintegralen i termer av derivatan , vilket återspeglas i Greens teorem, som likställer en linjeintegral av en funktion på en (1-dimensionell) kontur med den (2-dimensionella) integralen av derivatan.

Se även

Källor

Bryant, John; Sangwin, Chris (2007), "Chapter 8: In pursuit of coat-hangers" , How Round is your Circle?: Where Engineering and Mathematics Meet , Princeton University Press, s. 138–171, ISBN 978-0-691-13118 -4
Gatterdam, RW (1981), "The planimeter as an example of Green's theorem", The American Mathematical Monthly , 88 (9): 701–704, doi : 10.2307/2320679 , JSTOR 2320679
Hodgson, John L. (1 april 1929), "Integration of flow meter diagrams", Journal of Scientific Instruments , 6 (4): 116–118, Bibcode : 1929JScI....6..116H , doi : 10.1088/0950 -7671/6/4/302
Horsburgh, EM (1914), Napier Jubileumsfirande: Handbook of the Exhibition of Napier Relics and of Books, Instruments and Devices for facilitating Calculation, The Royal Society of Edinburgh
Jennings, G. (1985), Modern Geometry with Applications , Springer
Lowell, LI (1954), "Comments on the polar planimeter", The American Mathematical Monthly , 61 (7): 467–469, doi : 10.2307/2308082 , JSTOR 2308082
Wheatley, JY (1908), The polar planimeter , New York: Keuffel & Esser, ISBN 9785878586351

externa länkar