Piller pussel
Pillerburkpusslet är ett sannolikhetspussel , som frågar det förväntade värdet av antalet kvarvarande halva piller när det sista hela pillret tas ur en burk som initialt innehåller n hela piller och sättet att gå vidare är genom att ta bort ett piller från flaskan slumpmässigt. Om pillret som tas bort är ett helt piller, delas det upp i två halva piller. Ett halvt piller konsumeras och det andra sätts tillbaka i burken. Om pillret som tas bort är ett halvt piller, så konsumeras det helt enkelt och ingenting återförs till burken.
Matematisk härledning
Problemet blir mycket lätt att lösa när en binär variabel X k definieras som X k = 1, om det k: te halva pillret finns kvar i burken efter att alla hela piller har tagits bort. Det k: te halva pillret definieras som resultatet av att det k: te hela pillret har gått sönder från burken. X k = 1 om av n − k + 1 piller ( n − k hela piller + k :e halva pillret), tas det ena halvpillret bort i slutet. Detta sker med sannolikheten 1/( n − k + 1).
Det förväntade värdet ges sedan av, E( X 1 ) + E( X 2 ) + ... + E( X n ). Eftersom E( X k ) = P( X k = 1) = 1/( n − k + 1), är det sökta förväntade värdet 1/ n + 1/( n − 1) + 1/( n − 2) + ... + 1 = H n (det n :te övertonstalet ).