Petersen matris

Petersen -matrisen är en omfattande beskrivning av system för biokemiska reaktioner som används för att modellera reaktorer för föroreningskontroll (konstruerad nedbrytning ) såväl som i miljösystem . Den har lika många kolumner som antalet relevanta inblandade komponenter ( kemikalier , föroreningar , biomassor , gaser ) och lika många rader som antalet involverade processer (biokemiska reaktioner och fysisk nedbrytning). Ytterligare en kolumn läggs till som värd för beskrivningen av kinetiken för varje transformation ( hastighetsekvation) .

Matris struktur

Masskonserveringsprincipen för varje process uttrycks i matrisens rader. Om alla komponenter är inkluderade (ingen utelämnad) säger masskonserveringsprincipen att för varje process:

${\text{för all process }}i:\summa _{j=1}^{n}a_{ij}{\ punkt {\rho _{j}}}=0\;,$

där ${\dot {\rho _{j}}}$ är densitetshastigheten för varje komponent. Detta kan också ses som processens stökiometriska relation .

Dessutom kan variationshastigheten för varje komponent för alla processers samtidiga effekt enkelt bedömas genom att summera kolumnerna:

${\text{för alla komponent }}j:{\frac {\partial C_{j}}{\partial t}}=\summa _{i=1}^{m}a_{ij}r_{i}\;,$

där $r_{i}$ är reaktionshastigheterna för varje process.

Exempel

Ett system av en tredje ordningens reaktion följt av en Michaelis-Menten enzymreaktion.

${\ce {{A}+ 2B -> S}}$

${\ce {{E }+S<=>[k_{f}][k_{r}]ES->[k_{\mathrm {cat} }]{E}+P}}$

där reagenserna A och B kombineras och bildar substratet S (S = AB ₂ ), som med hjälp av enzym E omvandlas till produkten P. Produktionshastigheterna för varje ämne är:

${\begin{aligned}{\frac {d [{\ce {A}}]}{dt}}&=-k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}\\[6pt]{\ frac {d[{\ce {B}}]}{dt}}&=-2k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}\\[6pt ]{\frac {d[{\ce {S}}]}{dt}}&=k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}-k_ {f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]+k_{r}[{\ce {ES}}]\\[6pt]{\frac {d[{\ce { E}}]}{dt}}&=-k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]+k_{r}[{\ce {ES}}]+k_ {\ce {cat}}[{\ce {E}}S]\\[6pt]{\frac {d[{\ce {E}}S]}{dt}}&=k_{f}[{ \ce {E}}][{\ce {S}}]-k_{r}[{\ce {ES}}]-k_{\ce {katt}}[{\ce {ES}}]\\ [6pt]{\frac {d[{\ce {P}}]}{dt}}&=k_{\ce {cat}}[{\ce {E}}S]\end{aligned}}$

Därför lyder Petersen-matrisen som

Komponenter (kmol/m³) Bearbeta	A	B	S	E	ES	P	Reaktionshastighet
P1: 2:a ordningens formation av S från A och B	−1	−2	+1	0	0	0	$k_{1}[{\ce {A}}][{\ce {B}}]^{2}$
P2: Bildning av ES från E och S	0	0	−1	−1	+1	0	$k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]$
P3: Återupplösning av ES till E och S	0	0	+1	+1	−1	0	$k_{r}[{\ce {ES}}]$
P4: Framåtsönderdelning av ES till E och P	0	0	0	+1	−1	+1	$k_{{\ce {cat}}}[{\ce {ES}}]$

Petersen-matrisen kan användas för att skriva systemets hastighetsekvation

${\begin {pmatrix}{\frac {d}{dt}}[{\ce {A}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {B}}]\\{\frac {d }{dt}}[{\ce {S}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {E}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ ce {ES}}]\\{\frac {d}{dt}}[{\ce {P}}]\end{pmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\-2&0&0&0\\+1& -1&+1&0\\0&-1&+1&+1\\0&+1&-1&-1\\0&0&0&+1\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}k_{1}[{\ce {A} }][{\ce {B}}]^{2}\\k_{f}[{\ce {E}}][{\ce {S}}]\\k_{r}[{\ce { ES}}]\\k_{\ce {katt}}[{\ce {ES}}]\end{pmatrix}}$