Periodisk summering

En Fouriertransform och 3 variationer orsakade av periodisk sampling (vid intervall T ) och/eller periodisk summering (vid intervall P ) av den underliggande tidsdomänfunktionen.

I matematik kan vilken som helst integrerbar funktion $s(t)$ göras till en periodisk funktion $s_{P}(t)$ med period P genom att summera översättningarna av funktion $s(t)$ med heltalsmultiplar av P . Detta kallas periodisk summering:

$s_{P}(t)=\summa _{n=-\infty }^{\infty }s(t+nP )$

När $s_{P}(t)$ alternativt representeras som en Fourierserie , är Fourierkoefficienterna lika med värdena för den kontinuerliga Fouriertransformen , $S(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{s(t)\},$ med intervaller på ${\tfrac {1}{P}}$ . Den identiteten är en form av Poissons summationsformel . På liknande sätt är en Fourier-serie vars koefficienter är sampel av $s(t)$ med konstanta intervall ( T ) ekvivalent med en periodisk summering av $S(f),$ som är känd som en diskret-tids Fourier-transform .

Den periodiska summeringen av en Dirac-deltafunktion är Dirac-kammen . Likaså är den periodiska summeringen av en integrerbar funktion dess faltning med Dirac-kammen.

Quotientutrymme som domän

Om en periodisk funktion istället representeras med kvotutrymmesdomänen $\mathbb {R} /(P\mathbb {Z} )$ så kan man skriva :

$\varphi _{P}:\mathbb {R} /(P\mathbb {Z} )\to \mathbb {R}$

$\varphi _{P}(x)=\summa _{\tau \in x}s(\tau )~.$

Argumenten för $\varphi _{P}$ är ekvivalensklasser av reella tal som delar samma bråkdel när de divideras med $P$ .

Se även

• Dirac kam
• Cirkulär faltning
• Diskret-tids Fourier-transform