Parthasarathys teorem

Inom matematiken – och i synnerhet studiet av spel på enhetsrutan – är Parthasarathys teorem en generalisering av Von Neumanns minimaxsats . Den anger att en viss klass av spel har ett blandat värde, förutsatt att minst en av spelarna har en strategi som är begränsad till absolut kontinuerliga distributioner med avseende på Lebesgue-måttet (med andra ord, en av spelarna är förbjuden att använda en ren strategi ).

Satsen tillskrivs den indiske matematikern Thiruvenkatachari Parthasarathy .

Sats

Låt $X$ och $Y$ stå för enhetsintervallet $[0,1]$ ; ${\mathcal {M}}_{X}$ betecknar uppsättningen sannolikhetsfördelningar på $X$ (med ${\mathcal {M}}_{Y}$ definierad liknande); och $A_{X}$ betecknar uppsättningen av absolut kontinuerliga distributioner på $X$ (med $A_{Y}$ definierad på liknande sätt).

Antag att $k(x,y)$ är avgränsad på enhetens kvadrat $X\ gånger Y= \{(x,y):0\leq x,y\leq 1\}$ och att $k(x,y)$ är kontinuerlig utom möjligen på ett ändligt antal kurvor av form $y=\phi _{k}(x)$ (med $k=1,2,\ldots ,n$ ) där ϕ $\phi _{k}(x)$ kontinuerliga funktioner. För ${\displaystyle \mu \in M_{X},\lambda \in M_{Y}} ,$ definiera

$k(\mu ,\lambda )=\int _{y=0}^{1}\int _{x=0}^{1}k(x,y)\,d\mu (x) \,d\lambda (y)=\int _{x=0}^{1}\int _{y=0}^{1}k(x,y)\,d\lambda (y)\,d \mu (x).$

Sedan

$\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}\,\inf _{\lambda \in A_{Y}}k(\mu ,\lambda )=\inf _ {\lambda \in A_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu ,\lambda ).$

Detta motsvarar påståendet att spelet som induceras av $k(\cdot ,\cdot )$ har ett värde. Observera att en spelare ( WLOG $Y$ ) är förbjuden att använda en ren strategi.

Parthasarathy fortsätter att ställa ut ett spel där

$\max _{\mu \in {\mathcal {M} }_{X}}\,\inf _{\lambda \in {\mathcal {M}}_{Y}}k(\mu ,\lambda )\neq \inf _{\lambda \in {\mathcal { M}}_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu,\lambda )$

som alltså inte har något värde. Det finns ingen motsägelse eftersom ingen av spelarna i det här fallet är begränsad till absolut kontinuerliga distributioner (och demonstrationen att spelet inte har något värde kräver att båda spelarna använder rena strategier).

• T. Parthasarathy 1970. On Games over the unit square , SIAM , volym 19, nummer 2.