Parallaktisk vinkel

Inom sfärisk astronomi är den parallaktiska vinkeln vinkeln mellan storcirkeln genom ett himmelskt föremål och zenit och objektets timcirkel . Det betecknas vanligtvis q . I triangeln zenit—objekt—himlapolen kommer den parallaktiska vinkeln att vara positionsvinkeln för zenit vid det himmelska objektet. Trots sitt namn är denna vinkel inte relaterad till parallax . Den parallaktiska vinkeln är noll eller 180° när objektet korsar meridianen .

Används

För markbaserade observatorier fungerar jordens atmosfär som ett prisma som sprider ljus med olika våglängder så att en stjärna genererar en regnbåge längs den riktning som pekar mot zenit. Så givet en astronomisk bild med ett koordinatsystem med en känd riktning till den himmelska polen , representerar den parallaktiska vinkeln riktningen för den prismatiska effekten i förhållande till den referensriktningen. Kunskap om den vinkeln behövs för att rikta in Atmospheric Dispersion Correctors med teleskopets strålaxel

Beroende på typen av montering av teleskopet , kan denna vinkel också påverka orienteringen av himmelobjektets skiva sett i ett teleskop. Med ett ekvatorialfäste är kardinalpunkterna på det himmelska objektets skiva i linje med den vertikala och horisontella riktningen av vyn i teleskopet. Med ett altazimutfäste roteras dessa riktningar med storleken på den parallaktiska vinkeln. Kardinalpunkterna som hänvisas till här är punkterna på lemmen som är placerade så att en linje från skivans centrum genom dem pekar mot en av himlapolerna eller 90° bort från dem; dessa är inte de kardinalpunkter som definieras av objektets rotationsaxel.

Orienteringen av Månens skiva, relaterad till horisonten , ändras under hela dess dygnsrörelse och den parallaktiska vinkeln ändras på motsvarande sätt. Detta är också fallet med andra himlaobjekt.

I en efemeri kan positionsvinkeln för mittpunkten av månens eller planeternas ljusa lem och positionsvinklarna för deras nordpoler tabuleras. Om denna vinkel mäts från nordpunkten på lemmen, kan den omvandlas till en vinkel mätt från zenitpunkten (punkten) som ses av en observatör genom att subtrahera den parallaktiska vinkeln. Positionsvinkeln för den ljusa lemmen är direkt relaterad till den för subsolar punkten .

Härledning

Vektoralgebra för att härleda standardformeln motsvarar beräkningen av den långa härledningen för kompasskursen. Vinkelns tecken hålls i princip, norr över öst i båda fallen, men när astronomer tittar på stjärnor från insidan av himmelssfären, använder definitionen konventionen att q är vinkeln i en bild som vänder riktningen till NCP moturs i riktning mot zenit.

I ekvatorialsystemet med höger uppstigning α och deklination δ är stjärnan vid

$\mathbf {s} =\left({\begin{array}{c}\cos \delta \cos \alpha \\\cos \delta \sin \alpha \\\sin \delta \end{array} }\höger).$

I samma koordinatsystem hittas zenit genom att infoga a=π/2 , cos a=0 i transformationsformlerna

$\mathbf {z} =\left({\begin{array}{c}\cos \varphi \cos l\\ \cos \varphi \sin l\\\sin \varphi \end{array}}\right),$

där φ är observatörens geografiska latitud, a stjärnans höjd, z=π/2-a zenitavståndet och l den lokala sideriska tiden. Den nordliga himmelspolen är kl

$\mathbf {N} =\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right).$

Den normaliserade korsprodukten är rotationsaxeln som vänder stjärnan i riktning mot zenit:

$\mathbf {\omega } _{z}={\frac {1}{\sin z}}\mathbf {s} \times \mathbf {z} ={\frac {1}{\sin z} }\left({\begin{array}{c}\cos \delta \sin \alpha \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi \sin l\\-\cos \delta \cos \alpha \sin \varphi +\sin \delta \cos \varphi \cos l\\\cos \delta \cos \varphi \sin(\alpha -l)\end{array}}\right).$

Slutligen är ω _z × s det lutande koordinatsystemets tredje axel och riktningen till vilken stjärnan rör sig på storcirkeln mot zenit.

Planet som är tangentiellt till himmelssfären vid stjärnan överspänns av enhetsvektorerna i norr,

$\mathbf {u} _{\delta }=\left({\begin{array}{c}- \sin \delta \cos \alpha \\-\sin \delta \sin \alpha \\\cos \delta \end{array}}\right),$

och österut

$\mathbf {u} _{\alpha }=\left({\begin{array}{c}-\sin \alpha \\\cos \alpha \\0\end{array}}\right).$

Dessa är ortogonala:

$\mathbf {u} _{\delta }\cdot \mathbf {u} _{\alpha }=0;\quad \mathbf {u} _{\delta } ^{2}=\mathbf {u} _{\alpha }^{2}=1.$

Den parallaktiska vinkeln q är vinkeln för den första delen av storcirkeln vid s , öster om norr,

$\omega _{z}\times \mathbf {s} =\cos q\,\mathbf {u} _{\delta }+\sin q\,\mathbf {u} _{\alpha }.$

$\cos_ga q=(\omega }\times \mathbf {s} )\cdot \mathbf {u} _{\delta }={\frac {1}{\sin z}}(\cos \delta \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi \cos h),$

$\sin q=(\omega _{z}\times \mathbf {s} )\cdot \mathbf {u} _{\alpha }={\frac {1}{\sin z}}\sin h \cos \varphi .$

(Den föregående formeln är sinusformeln för sfärisk trigonometri .) Värdena för sin z och cos φ är positiva, så med hjälp av atan2- funktioner kan man dela båda uttrycken genom dessa utan att förlora tecken; så småningom

$sin$

ger vinkeln i hela området -π ≤ q ≤ π . Fördelen med detta uttryck är att det inte beror på de olika offset-konventionerna för A ; den okontroversiella förskjutningen av timvinkeln h tar hand om detta.

För ett sideriskt mål, per definition ett mål där δ och α inte är tidsberoende, ändras vinkeln med en period av en siderisk dag T _s . Låt prickar beteckna tidsderivator; då ändras timvinkeln som

${\dot {h}}={\frac {2\pi }{T_{s}}}$

och tidsderivatan av uttrycket tan q är

${\dot {q}}{\frac {1}{\cos ^{2}q}}={\frac {\cos \varphi [\cos h\cos \delta \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi ]}{(\cos \delta \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi \cos h)^{2}}}{\dot {h}};$

${\dot {q}}={\frac {\cos \varphi [\cos h\cos \delta \sin \varphi -\sin \delta \cos \varphi ]}{\sin ^{2}z }}{\dot {h}}={\frac {\cos \varphi \cos a\cos A}{\sin ^{2}z}}{\dot {h}}={\frac {\cos \ varphi \cos A}{\sin z}}{\dot {h}}.$

Värdet som härleds ovan hänvisar alltid till den nordliga himlapolen som ursprunget för koordinater, även om det inte är synligt (dvs om teleskopet är söder om ekvatorn). Vissa författare introducerar mer komplicerade formler med variabla tecken för att härleda liknande vinklar för teleskop söder om ekvatorn som använder den sydliga himlapolen som referens.

Se även

• Frigörelse
• Ekvatorialfäste
• Altazimuth fäste

Vidare läsning

•   Taff, Laurence G. (1981). Beräkningssfärisk astronomi . Wiley. Bibcode : 1981csa..bok.....T . ISBN 0471-873179 .
•   Karttunen, Hannu; Kröger, Pekka; Oja, Heikki; Poutanen, Markku; Donner, Karl Johan, red. (1987). Grundläggande astronomi . Springer. Bibcode : 2003fuas.book.....K . ISBN 0-387-17264-5 .