Palierne ekvation

Palierne-ekvationen förbinder emulsioners dynamiska modul med de två fasernas dynamiska modul , dropparnas storlek och ytspänningen mellan faserna . Ekvationen kan också användas för suspensioner av viskoelastiska fasta partiklar i viskoelastiska vätskor. Ekvationen är uppkallad efter den franske reologen Jean-François Palierne, som föreslog ekvationen 1991.

För de utspädda emulsionerna ser Palierne-ekvationen ut så här:

$G^{*}=G_{m}^{*}(1+5\phi H^{*})$

där $G^{*}$ är emulsionens dynamiska modul, $G_{m}^{*}$ är den kontinuerliga fasens (matris) dynamiska modul, ${\ displaystyle \phi }$ är volymfraktionen av den dispersa fasen och $H^{*}$ ges som

$H^{*}={\frac {(G_{d}^{* }-G_{m}^{*})(19G_{d}^{*}+16G_{m}^{*})+(4\sigma /R)(5G_{d}^{*}+2G_{ m}^{*})}{(2G_{d}^{*}+3G_{m}^{*})(19G_{d}^{*}+16G_{m}^{*})+(40 \sigma /R)(G_{d}^{*}+G_{m}^{*})}}$

där $G_{d}^{*}$ är den dynamiska modulen för den dispersa fasen, $\sigma$ är ytspänningen mellan faserna och $R$ är radien för dropparna.

ges värdet av ${\displaystyle H^{*}} som$

$H^{*}={\frac {G_{d}^{*}-G_{m}^{*}} {2G_{d}^{*}+3G_{m}^{*}}}$

Palierne-ekvationen utökas vanligtvis för de finita volymkoncentrationerna av den dispersa fasen $\phi$ som:

$G^{*}=G_{m}^{*}{\frac {1+3\phi H^{*}} {1-2\phi H^{*}}}$